5. Знакопочережні ряди. Ознака Лейбніца.

Означення. Знакозмінний ряд називається знакопочережним, якщо його сусідні члени мають різні знаки:

(1).

Теорема (ознака збіжності Лейбніца). Якщо для знакопочережного ряду (1) виконуються умови:

1) абсолютні величини членів ряду (1) утворюють монотонно спадну послідовність, тобто ;

2) ;

то ряд (1) збігається.

Приклад 1. З’ясувати поведінку ряду (1) за допомогою ознаки Лейбніца. (див. приклад 3 питання 1)

Розвязання. Перевіримо виконання умов теореми Лейбніца:

1) Випишемо -й член ряду та модуль -го члена:

При знаменник дробу зростає, отже весь дріб спадає і

.

2) .

Отже, виконані всі умови ознаки Лейбніца, значить, даний ряд збігається. (безпосередньо ця збіжніть була встановлена у прикладі 3 питання 1).

Приклад 2. З’ясувати поведінку ряду (1) за допомогою ознаки Лейбніца.

Розвязання. Перевіримо виконання умов теореми Лейбніца:

1) Випишемо -й член ряду та модуль -го члена:

.

При знаменник дробу зростає, отже весь дріб спадає і

.

2) .

Отже, виконані всі умови ознки Лейбніца, значить, даний ряд збігається.

Функціональні ряди.

1. Поняття функціонального ряду та його області збіжності.

Нехай , ....– послідовність функцій, визначених на деякій множині .

Функціональним рядом називається вираз вигляду

(1)

Виберемо довільне значення аргументу з області визначення функцій : і підставимо в кожну з функцій . Ряд (1) перетвориться на числовій

(2)

Якщо числовий ряд (2) збіжний, то точка називається точкою збіжності функціонального ряду (1). Множина всіх точок збіжності функціонального ряду називається областю збіжності функціонального ряду.

Якщо функціональний ряд (1) збігається до функції , то різниця , називається -им залишком ряду:

Для всіх з області збіжності .

Для знаходження точок, в яких ряд (1) збігається абсолютно (тобто відповідний числовий ряд (2) збігається абсолютно), використовують відомі ознаки абсолютної збіжності додатних числових рядів (ознаки Д’Аламбера, Коші).

Приклад. Знайти область збіжності функціонального ряду .

Розв’язання.

1) . Випишемо -й член ряду та модуль -го члена:

,

2) Застосуємо до ряду ознаку Коші:

3) Дослідимо функцію . За ознакою Коші

а)

.

Отже, при ряд збігається абсолютно.

б) .

При даний ряд перетвориться на числовий ряд , який розбігається.

в) – ряд завжди розбігається.

Відповідь: область збіжності .

При ряд збігається абсолютно.

Рівномірна збіжність функціональних рядів

Означення.Функціональний ряд (1) називається рівномірно збіжним на множині , якщо : .

Геометричний зміст рівномірної збіжності:

на проміжку . Графіки функцій

містяться в ссередині смуги, утвореної графіками та .

Практично це означає, що суму на проміжку можна наближено замінити частковою сумою

:

Для дослідження функціонального ряду на абсолютну і рівномірну збіжність користуються такою достатньою умовою.

Теорема (ознака Вейєрштрасса). Функціональний ряд (1) абсолютно і рівномірно збіжний на відрізку , якщо існує додатний збіжний числовий ряд (2) такий, що , n=1, 2,… (3)