3.13 Передаточная функция нелинейного элемента и определение амплитуды и величины автоколебаний методом гармонического баланса.

Рассмотрим прохождение гармонического сигнала через нелинейный элемент с неоднозначной статической характеристикой.

1) линейная статическая характеристика

-на выходе

2) нелинейная неоднозначная статическая характеристика

на выходе

В случае неоднозначной нелинейной статической характеристики происходит изменение формы гармонического сигнала, который с использованием разложения в ряд Фурье рассматривается как сумма 2-х гармоник. Обе гармоники имеют одну и ту же несущую частоту, но сдвинуты по фазе на 90 и могут рассматриваться как наложение колебаний в 2-х плоскостях.

Определение передаточного числа нелинейного элемента для колебаний по форме : Для колебаний по форме определяют передаточный коэффициент . В этом случае передаточная функция нелинейного элемента определяется как комплексная величина:

Рассмотрим разложение в ряд Фурье входного сигнала:

Аппроксимация выходного сигнала первыми двумя членами ряда называется гармонической линеаризацией.

Рассмотрим структурную схему управления с обратной связью:

Уравнением гармонического баланса называется такое соотношение для амплитуды и частоты автоколебаний и , для которых справедливо равенство:

Для решения уравнения гармонического баланса используют методы Гольдфарба и Коченбургера .

функции от параметров нелинейности

По методу Гольдфарба амплитуда и частота автоколебаний определяются в точке пересечения годографа линейной части системы с годографом нелинейной статической характеристики.

Точка, где годограф нелинейной части входит внутрь годографа линейной части с увеличением амплитуды, эта точка соответствует устойчивому режиму автоколебаний. А в точке выхода из области ограниченной линейной частью обычно режим автоколебаний неустойчивый.

Условие Гольдфарба является необходимым, но не достаточным; для неоднозначной нелинейной статической характеристики строгих доказательств нет.

3.14 Устойчивость нелинейной системы при исчезающе-малых воздействиях. Критерий устойчивости Попова.

Исследование нелинейной системы включает анализ следующих воздействий:

1) гармоническое воздействие

-передаточная функция нелинейного элемента по форме колебаний

- передаточная функция нелинейного элемента по форме колебаний

Для нелинейной системы в отличии от линейной передаточные числа по формам колебаний и зависят от амплитуды входного воздействия a.

Для нелинейной динамической системы анализ характеристик включает расчет зависимости амплитуды на выходе от частоты колебаний, а также от амплитуды входного сигнала.

2) Исследование автоколебаний нелинейной системы при начальных отклонениях от положения равновесия

При начальных отклонениях нелинейной системы возбуждает автоматические колебания выходной координаты в результате свободного движения в зоне нечувствительности нелинейного элемента и ограничение управления за пределами линейного регулирования.

Необходимым условием существования автоколебаний является пересечение годографа передаточной функции линейной части системы годографом , вычисленного для заданной нелинейности.

3) Реакция нелинейной системы на исчезающе-малые и импульсные воздействия.

Входной сигнал x(t) обладает следующими свойствами:

1)

2)

Входное воздействие x(t) рассматривается как исчезающе-малое, если его предел при времени стремящимся к бесконечности =0, а max значение из всех возможных значений ограничено по модулю и не превышает .