Нечеткие множества и операции над ними. Определение нечеткого множества. Нечеткое множество – это математическая модель класса с нечетким – или другими словами, размытыми множествами. То есть элемент может иметь степень принадлежности к множеству, находящуюся между границами (принадлежит, не принадлежит).

Если задана некоторое базовое множество Х, то подмножеством (четким) А называется любое множество, в которое входят некоторые элементы множества Х.

Любое множество подмножества А множества Х можно описать ее функцией принадлежности , значения которой для элемента х Х равна единице лишь в том случае , если этот элемент принадлежит А, и нулю в противном случае.

Соответствие между подмножеством множества Х и произвольными функциями принадлежности является взаимно однозначным, то есть определив подмножество, можно определить и функцию принадлежности, и наоборот, если заданная функция , то тем самым однозначно задано подмножество множества Х.

Таким образом в четком множестве любой элемент может или принадлежать или нет, поэтому функция принадлежности может иметь только 2 значения 1 или 0. Для универсального множества Х для всех элементов х Х значения .

В нечетком множестве А (точнее, в нечетком подмножестве А множества Х) любой элемент х Х может принадлежать множеству с некоторой мерой достоверности, которая принимает значения от нуля (элемент наверное не принадлежит множеству) до единицы (элемент наверное принадлежит множеству). Соответственно и функция принадлежности нечеткому множеству может принимать значения из интервала [0,1].

Нечетким множеством А в Х называется совокупность пар , х Х, функция , которая каждому из элементов множества Х ставит степень его принадлежности нечеткому множеству А.

Нечеткое множество называется пустым если его функция принадлежности равна нулю на всем множестве Х, то есть

Носителем нечеткого множества А с функцией принадлежности называется множество

Нечеткое множество А называется нормальным , если В других случаях множество называется субнормальным.

Язык нечетких множеств имеет существенное преимущество перед языком теории вероятности в том случае, когда оценки получают из опыта экспертов.

Операции над нечеткими множествами. Нечеткое множество А в Х является подмножеством нечеткого множества В в Х (А включена в В, ) если для всех х справедливо соотношение .

Объединение нечетких множеств А и В в Х называется нечеткое множество с функцией принадлежности .

(определение объединения через алгебраическую сумму функций принадлежности). Объединение нечетких множеств А и В в Х называется нечеткое множество с функцией принадлежности

Пересечением нечетких множеств А и В в Х называется нечеткое множество с функцией принадлежности .

(определение пересечения через алгебраическое произведение функций принадлежности). Пересечением нечетких множеств А и В в Х называется нечеткое множество с функцией принадлежности .

На рисунке заштрихованные области соответствуют функциям принадлежности пересечения и объединения множеств согласно определений выше.

(вставить рисунок 5,2)

Пусть - конечное или бесконечное семейство нечетких множеств с функциями принадлежности – параметр этого семейства. Объединением нечетких множеств этого семейства является нечеткое множество С с следующей функцией принадлежности

Пусть - конечное или бесконечное семейство нечетких множеств с функциями принадлежности – параметр этого семейства. Пересечением нечетких множеств этого семейства является нечеткое множество С с следующей функцией принадлежности

Носители нечетких множеств имеют следующее свойство, которое может быть полезно, и которое выполняется для всех рассмотренных определений объединения и пересечения приведенных выше:

.

Дополнением нечеткого множества А в Х называется нечеткое множество А’ с функцией принадлежности

Следует отметить, что при таком определении дополнения для определений пересечения.

Разностью нечетких множеств А и В в Х называется нечеткое множество А\В с функцией принадлежности

Декартовым произведением нечетких множеств в ,i=1,…,n является нечеткое множество А в декартовом произведении с функцией принадлежности

Выпуклой комбинацией нечетких множеств в Х называется нечеткое множество А с функцией принадлежности

Операции концентрирования (CON) и растягивания (DIL) нечеткого множества А определяются следующим образом CON A=A²,DIL A=A^0.5, где .

Использование операции концентрирования к заданному нечеткому множеству означает – уменьшение степени «нечеткости» этого множества.

Множество уровня и декомпозиция нечеткого множества. Множеством уровня нечеткого множества А в Х называется множество состоящее из элементов , степень принадлежности которых к нечеткому множеству А не меньше чем . Таким образом, множество уровня нечеткого множества А определяется как .

Пусть – множества уровня объединение и пересечение нечетких множеств А и В соответственно. Рассмотрим каким образом связанны эти множества с множествами уровня и соответственно. В зависимости от действующих правил получаем:

или

Отметим что в правых частях этих соотношений используются обычные операции объединения и пересечения множеств, каждую из которых можно рассматривать и как частный случай операции по каждому из соответствующих определений.

Если – множество уровня декартового произведения нечетких множеств то определение декартового произведения ведет к следующему соотношению то есть множество уровня декартового произведения является декартовым произведением множеств уровня каждого из множеств.

Множество уровня произвольной выпуклой комбинации нечетких множеств имеет в себе пересечение множеств уровня всех этих множеств, то есть .

В некоторых случаях удобно использовать разложение нечеткого множества по его множителям уровня, то есть , а объединение нечетких множеств берется в соответствии с определением по всем значениям от0 до 1.

Отображение нечетких множеств.

Четкие отображения. Обычным, четким отображением (многозначным, полиморфным) множества Х в множество Y, называется , произвольное подмножество декартового произведения , то есть . Множество Х называется областью определений отображения, а Y – областью значений. Для фиксированного элемента х* Х области определения отображения его образом по отображению называется множество .

Образом множества A⊑X по отображению называется объединение образов всех элементов А, то есть множество .

Если каждому элементу х Х отвечает один и лишь один элемент и одновременно выполняется обратное утверждение, то есть каждому элементу отвечает один и лишь один элемент х Х, то такое отображение является изоморфным, или взаимно однозначным. Если каждому элементу х Х соответствует один и лишь один элемент , но обратное утверждение не выполняется, то отображение является гомоморфным, то есть для каждого элемента х Х существует один и лишь один образ, но вместе с тем несколько элементов х Х могут иметь один и тот же образ.

Обратное отображение для отображения называется такое отображение, для которого . Образ элемента y* при обратном отображении он является подмножеством множества Х.

Принцип обобщения Л.Заде. Способ расширения области определения на класс нечетких множеств можно получить с помощью принципа обобщения. Л.Заде предложил следующий принцип обобщения, который основывается на определении понятия образа нечеткого множества при условии обычного четкого отображения. Пусть – заданное отображение и пусть А – некоторое нечеткое подмножество множества Х с функцией принадлежности . Согласно принципа обобщения Л.Заде образ А при отображении определяется как нечеткое подмножество множества Y, что является совокупностью пар следующего вида: , где – функция принадлежности образа. Таким образом функцию принадлежности можно записать следующим образом : , где множество для произвольного фиксированного является следующей , то есть является множеством всех тех элементов х Х, образом каждого из которых при отображении является элемент y.

Образом В нечеткого множества А в Х при условии нечеткого отображения называется нечеткое множество, которое имеет следующую принадлежность .

соответствует определению образа, на котором основывается принцип обобщения Л.Заде.

Многомерные нечеткие отображения и прообразы. Если заданное нечеткое отображение зависит от n переменных, то есть имеет вид , где – декартовое произведение соответствующих множителей, и на множестве Х задано нечеткое подмножество , то в общем случае функция принадлежности этого подмножества будет иметь следующий вид , где и v-заданные нечеткие подмножества соответствующих множеств b X. Эта запись означает, что множество является «совокупностью» всех наборов таких, что «принадлежит» нечеткому множеству , а – нечеткому множеству v.

Используя принцип обобщения в этом случае, получаем следующий вид для функции принадлежности нечеткого множества : .

Прообразом А нечеткого множества В в Y для нечеткого отображения , называется объединение всех нечетких множеств, образы которых для этого отображения принадлежат (являются подмножествами) нечеткого множества В.

Нечеткое множество А – прообраз множества В – имеет следующую функцию принадлежности , где множества и определяются из следующих соотношений: .