Лабораторная работа № 5 Определение момента инерции махового колеса

Цель работы: изучение законов динамики твердого тела, экспериментальное определение момента инерции тела на лабораторной установке и сравнение полученных результатов с теоретическими расчетами.

Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, два одинаковых груза, линейка или рулетка.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Понятие момента инерции до некоторой степени аналогично понятию массы, но намного уже. Масса является мерой инерции тела, а вместе с тем, источником и объектом тяготения. Под инерцией понимаем свойство тела сохранять имеющуюся у него скорость.

Момент инерции является мерой инертности тела только во вращательном движении и характеризует способность тела сохранять свою угловую скорость.

Момент инерции зависит от формы, размеров тела, распределения массы относительно оси вращения и выбора оси вращения.

Момент инерции материальной точки массы m относительно оси вращения:

I = mR², (1)

где R — расстояние от точки до оси вращения.

Если размеры тела намного меньше расстояния от тела до оси вращения, то это тело можно принять за материальную точку и пользоваться этой же формулой.

Для нахождения момента инерции твёрдого тела произвольной формы надо его разбить на малые элементы dm, чтобы каждый из них можно было принять за материальную точку и найти момент инерции каждого элемента.

При непрерывном распределении массы момент инерции произвольного тела находится интегрированием:

. (2)

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси.

Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J₀ относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями:

J=J₀+ma² (3)

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси имеет вид:

I = M_z . (4)

где  — угловое ускорение тела, вращающегося под действием момента силы M_z

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

В настоящей работе момент инерции определяется с помощью трифилярного

подвеса. Трифилярный подвес состоит из двух дисков разного диаметра.

Верхний диск меньшего диаметра неподвижен, нижний диск большего диаметра подвешен к нему на трёх симметрично расположенных нитях.

Нижний диск может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси проходящей через центр дисков.

Если амплитуда колебаний мала, можно, используя закон сохранения механической энергии, получить следующую формулу для момента инерции нижнего диска:

. (4)

где — среднее значение длины нитей;

— среднее значение радиуса нижнего диска;

— радиус верхнего диска;

— среднее значение периода колебаний нижнего диска.

Если на диске расположены какие-то предметы, то по этой же формуле вычисляется суммарный момент инерции диска и находящихся на нём предметов.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

1.Измерить не менее 3 раз длину нитей и радиус нижнего диска . Найти их средние значения и , вычислить средние квадратичные ошибки среднего значения каждой величины:

, n = 3 (5)

Определить доверительные интервалы с заданной доверительной вероятностью P = 0,95:

, . (6)

Коэффициент Стьюдента - взять из таблицы, считая доверительную вероятность равную P = 0,95, число опытов n = 3.

Данные занести в таблицу 1.

Tаблица 1.

№ п/п	l, м	, м	, м	, м	, м	R, м	, м	, м	,м	R, м

2. Значения радиуса верхнего диска r , массы нижнего диска m_д, массы грузов т занести в таблицу 2.

∆r = 0,5мм, ∆ m_д = 0,5г, ∆ m = 0,5г.

Таблица 2.

mд, кг	mд, кг	m, кг	m, кг	r, м	r, м

3. Определить время 10-ти полных крутильных колебаний пустого диска t и вычислить период колебаний пустого диска:

,

где k — число колебаний (k = 10).

Опыт повторить 6 раз.

Найти среднее значение периода .

Найти среднюю квадратичную ошибку среднего значения периода колебания пустого диска:

, n = 6.

Определив по таблице (при P = 0,95, n = 6), найти доверительный интервал Т_д.:

Данные занести в таблицу 3.

4. Определить среднее арифметическое значение момента инерции пустого диска по формуле:

.

Найти доверительный интервал среднего значения момента инерции пустого диска:

Данные занести в таблицу 3.

Таблица 3.

k	t, с	Тд, с	, с	, с	с	Тд, с	кг·м2	Iд кг·м2	кг·м2

5. В центре диска поместить два одинаковых цилиндрических груза (ось вращения проходит через центры грузов).

Определить время полных 10-ти колебаний t и вычислить период колебаний . Повторить опыт 6 раз. Найти среднее значение периода . Определить момент инерции диска с грузами в центре I:

.

6. Вычитая из момента инерции диска с грузами I момент инерции пустого диска I_д, найти момент инерции грузов I₀ относительно оси, проходящей через центр масс грузов:

.

Данные занести в таблицу 4.

Таблица 4.

k	T, с	T, с	, с	, кг·м2	, кг·м2

7. Изменить положение грузов, поместив их симметрично по краям диска.

Измерить расстояние от центра диска до центров грузов. Измерить среднее значение этого расстояния d. Определить время 10-ти полных колебаний , и вычислить период колебаний . Опыт повторить 6 раз. Найти среднее значение периода колебаний . Определить момент инерции диска и грузов , относительно оси, не проходящей через центр масс грузов:

.

Данные занести в таблицу 5.

8. Найти момент инерции грузов, центры масс которых находятся на расстоянии d от оси вращения:

.

9. Пользуясь теоремой Штейнера вычислить момент инерции грузов относительно оси, находящейся на расстоянии d от оси вращения.

Если , определенные в упражнениях 8 и 9 совпадут, теорема Штейнера справедлива. Данные занести в таблицу 5.

Таблица 5.

k	t’, с	, с	, с	, кг · м2	кг · м2	d, м	кг · м2

Контрольные вопросы:

1. Что называется угловой скоростью? Как направлен вектор угловой скорости?

2. Что называется угловым ускорением? Как направлено угловое ускорение?

3. Чему равен момент инерции материальной точки? Какое тело можно принять за материальную точку?

4. Как вычислить момент инерции тела, которое нельзя считать материальной точкой?

5. Чему равен момент инерции обруча, диска, шара, стержня относительно оси, проходящей через центр масс?

6. Сформулировать теорему Штейнера.

7. Что называется моментом силы?

8. В чем заключается проверка теоремы Штейнера?

Литература:

1. Савельев И.В. Курс общей физики. -317 с., т.3. М.: Наука.1987.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Учебное пособие для втузов. В 5 кн. М. Астрель/АСТ 2003 г.

3. Трофимова Т.И. Курс физики: Учебное пособие для втузов. Изд. 2-е, испр.-352с, М.: Высшая Школа, 2002 г.

4. Грабовский Р.И. Курс физики: Учебное пособие для втузов. Изд. 6-е- 608 с, {Учебники для вузов: Специальная литература}, СПб: Лань , 2002 г.

5. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: Учебное пособие для втузов. Изд. 4-е, испр.-607с, М. :Высшая Школа, 1989 г.

6. Трофимова Т.И. Курс физики: Учебное пособие для инженерно-технических ВУЗов. Изд. -6-е/ 7-е,.-542 с. М.: Высшая Школа, 1999 г.