3. Принятые обозначения

В изучаемом курсе начертательной геометрии приняты следующие обозначения:

1) точки пространства обозначают прописными буквами латинского алфавита: A, В,C,D,... или цифрами 1, 2, 3, 4, ...;

2) прямые и кривые линии пространства – строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, ...;

3) плоскости и поверхности – прописными буквами греческого алфавита: Γ, Θ, Λ, Σ, Φ, Ψ, Ω, P, T;

4) плоскость проекций ( поле проекций) – П (прописная буква греческого алфавита).

5) при образовании комплексного чертежа плоскости проекций ( поля проекций) обозначают буквой П с добавлением нижнего индекса 1, 2, 3..., при этом:

• горизонтальная плоскость проекций обозначается П1,

• фронтальная плоскость проекций - П2,

• профильная плоскость проекций - П3,

новую плоскость проекций, отличную от указанных выше, обозначают:

П4, П5, П6, ...;

6) проекции точек, прямых и плоскостей обозначают теми же буквами, какими обозначены их оригиналы с добавлением индекса, соответствующего индексу плоскости проекций;

так, проекции точки А, прямой a и плоскости P соответственно обозначают:

на плоскости П1 – А1, a1, P1;

на плоскости П2 – А2, а2, Р2;

на плоскости П3 - А3, а3, Р3 ;

7) для указания способа задания плоскости рядом с буквенным обозначением плоскости в скобках пишутся обозначения тех элементов, которыми она задана, например:

Θ(A, B, C), Λ(a║b), Ω (m ∩ n);

8) для некоторых прямых и плоскостей используются постоянные обозначения.

Линии уровня обозначают:

• горизонталь – h;

• фронталь – f;

• профильная – p;

9) углы обозначают следующими строчными греческими буквами: α, β, γ, δ,...;

4. Методы проецирования

Построение изображений в начертательной геометрии основано на методе проекций. Различают центральное и параллельное проецирование. Чтобы получить центральные проекции, необходимо задаться плоскостью проекций π₁ и центром проекций – точкой S, не лежащей в этой плоскости.

Пусть дана некоторая точка А, проекцию которой и нужно найти (рисунок 1). Если провести прямую через известные точки А и S, и продолжить до пересечения с заданной плоскостью, получим точку А₁, которая и будет являться центральной проекцией точки А. Также поступаем, например с точками В и Т. Их центральными проекциями будут точки В₁ и Т₁: они получаются в пересечении проецирующих лучей SВ и SТ с плоскостью проекций. В нашем случае эти два луча совпадают также как и проекции точек. Отсюда несложно сделать вывод, что при заданных плоскости проекций и центре проекций можно построить проекцию точки; но имея проекцию, нельзя по ней определить положение самой точки в пространстве, так как любая точка проецирующего луча проецируется в одну и ту же точку.

Если для какой – либо точки проецирующий луч окажется параллельным плоскости π₁, то принято считать, что они все равно пересекутся, но в бесконечно удаленной точке. Проекцией точки D будет бесконечно удаленная точка D∞. Изображение предметов при помощи центрального проецирования обладает большей наглядностью. Однако, этот метод в значительной степени искажает форму и размеры оригинала, так как не сохраняет параллельности прямых и отношения отрезков.

Рисунок 1

Параллельное проецирование является частным случаем центрального, у которого центр проекций находится в бесконечно удаленной точке. При таком проецировании принято считать, что все проецирующие лучи параллельны некоторому заданному направлению (рисунок 2). Поэтому, чтобы построить параллельную проекцию некоторой точки, нужно задать аппарат проецирования в виде плоскости проекций и направления проецирования.

Следовательно, параллельной проекцией точки будет точка пересечения проецирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций. Параллельное проецирование сохраняет размерность объекта.

Рисунок 2

Частным случаем параллельного проецирования является ортогональное (прямоугольное) проецирование, когда направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекций. Ортогональная проекция получила наибольшее распространение в технических чертежах, так как она позволяет наиболее легко судить о размерах изображаемых предметов.

Рассмотренные методы проецирования позволяют по данному оригиналу строить его проекционный чертеж. Однако обратная задача – по данному проекционному чертежу воспроизвести оригинал – не решается однозначно. Таким образом, рассмотренные проекционные чертежи не дают возможности определить оригинал или, как говорят. не обладают свойством обратимости. Для получения обратимых чертежей мы воспользуемся методом, который предложил французский ученый Гаспар Монж.