Практическое занятие №7 планирование эксперимента. Построение математической модели технологического процесса

Цель работы - освоить методику расчета коэффициентов регрессии модели

1 Общие сведения

Планирование эксперимента осуществляется на основе четкой, строго формализованной схемы всех операций, связанных с постановкой и проведением эксперимента, а именно выбора факторов, назначения интервалов и уровней их варьирования, определения общего количества опытов и условий проведения каждого из них.

Выбор плана эксперимента в значительной степени определяет схему статистической обработки результатов наблюдений и вид математической зависимости между переменными.

Пользуясь методикой планирования экспериментов можно организовать эксперимент таким образом, чтобы получить нужную, заранее запланированную информацию об изучаемом объекте.

Преимуществом этой методики является возможность оценки одновременного влияния нескольких факторов на исследуемый процесс, упрощается расчет коэффициентов регрессии, увеличивается точность их определения, значительно сокращается количество опытов при проведении исследований, что в конечном счете приводит к сокращению материальных затрат на экспериментальные исследования. Кроме этого, можно по полученному уравнению оптимизировать процесс обработки, не располагая абсолютно точным знанием физики процесса, что достаточно часто встречается в технологии.

Выбор параметра исследования.

Общие требования к параметру исследования включают требование однозначности, возможности измерения в достаточно широком диапазоне. Исследуемый параметр может быть экономическим или техническим. При решении задачи с техническими критериями оптимизации бывает трудно, а зачастую невозможно ограничиться одним параметром оптимизации. Рассматриваемая методика позволяет проводить экспериментальные исследования и в таких случаях.

Выбор факторов и факторного пространства

Выбрать фактор - значит выбрать способ воздействия на технологический процесс. Очевидны следующие требования к факторам:

-возможность управления выбранными факторами в определенных пределах,

-факторы не должны быть линейно зависимы.

Для сокращения числа факторов применяет метод априорного ранжирования, позволяющий путем опроса ведущих специалистов в данной области выделить ведущие факторы.

Если такой способ про каким-то причинам применить не удается, можно это сделать с помощью предварительного экспериментального исследования.

Область факторного пространства, то есть уровни и интервалы варьирования обусловливаются значениями, наиболее часто употребляемыми на практике и должны включать область, представляющую интерес для исследования.

Факторные планы, рассмотренные в данном разделе являются симметричными относительно центра эксперимента. Варьирование может производиться на двух уровнях: нижнем Х_min, и верхнем Х_max.

Условия кодирования переменных

Удобнее работать с переменными, если они закодированы и являются «безразмерными» величинами. При этом они изменяются от –1 до +1. При этом можно достичь унификаци при обработки данных. Для каждого фактора Хi интервал варьирования будет определен как:

,

Значение переменных в центре факторного пространства определяется:

,

Текущее значение кодированной i-той переменной :

.

При использовании кодированных переменных модель будет строиться в унифицированном виде.ю независимо от ее физического содержания. После нахождения уравнения регрессии для перехода к физической модели достаточно перйти от кодированных переменных к физическим, используя соответствующие формулы.

Вид уравнения регрессии

В планировании эксперимента каждый исследуемый параметр y_k принято представлять как функцию отклика, которая может аппроксимироваться линейным

,

неполным квадратным

или квадратным уравнением вида:

,

где: b_o, b_i, b_ij, b_ii - коэффициенты уравнения регрессии,

х_i , х_j -переменные факторы,

х_о - фиктивная переменная, необходимая для определения свободного члена.

Для проведения экспериментальных исследований выберем факторный эксперимент типа 2⁴, позволяющий оценить коэффициенты линейных членов и эффекты парных взаимодействий различных факторов.

Последовательность выполнения опытов

Если опыты реализовать в той последовательности, в какой они обычно располагаются в матрице планирования, возможно получение систематической ошибки, обусловленной влиянием внешних факторов: притуплением реакции восприятия экспериментатора, дрейф показаний приборов в течение рабочего цикла. Для нивелирования ошибки опыты рандомизируются, те есть выполняются в случайном порядке. Каждый из опытов повторяется по три раза.

Матрица планирования

При планировании эксперимента принята табличная (матричная) форма записи условий проведения опытов. Знак «+» в соответствующей строке матрицы планирования означает, что эксперимент проводится при верхнем (максимальном) значении данного фактора, знак «-» - на нижнем (минимальном). В уравнении регрессии это соответствует множителю «+1» или «-1» соответственно.

В соответствии с этими обозначениями матрица планирования 2 ⁴ представлена на таблице 1.

В столбцах 7, 8, 9, 10 представлены значения y, полученные, при проведении дублиру­ющихся опытов, в столбце 11 среднее значение по проведенным опытам, в столбце 12 - величина дисперсии по каждой серии опытов.

Значения в столбце 11 рассчитываются по формуле:

Значения , в знаменателе стоит число степеней свободы системы V=к-1 (одна степень свободы была использована для определения среднего арифметического) .

Таблица 1. Матрица планирования 2⁴

№u

Х0

Х1

Х2

Х3

Х4

(k=1-4)

у u р

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

+

+

+

+

+

у1 1

у 1 2

у 1 3

у 1 4

у 1

1

у 1р

2

+

+

+

+

-

у 2 1

у 2 2

у 2 3

у 2 4

у 2

2

y2р

3

+

+

+

-

+

у 3 1

у 3 2

у 3 3

у 3 4

у 3

3

y3р

5

+

+

-

+

+

у 5 1

у 5 2

у 5 3

у 5 4

у 5

5

y5р

6

+

+

-

+

-

у 6 1

у 6 2

у 6 3

у 6 4

у 6

6

y6р

7

+

+

-

-

+

у 7 1

у 7 2

у 7 3

у 7 4

у 7

7

y7р

8

+

+

-

-

-

у 8 1

у 8 2

у 8 3

у 8 4

у 8

8

y8р

9

+

-

+

+

+

у 9 1

у 9 2

у 9 3

у 9 4

у 9

9

y9р

10

+

-

+

+

-

у10 1

у10 2

у10 3

у10 4

у 10

10

y10р

11

+

-

+

-

+

у11 1

у11 2

у11 3

у11 4

у 11

11

y11р

12

+

-

+

-

-

у12 1

у12 2

у12 3

у12 4

у 12

12

y12р

13

+

-

-

+

+

у13 1

у13 2

у13 3

у13 4

у 13

13

y13р

14

+

-

-

+

-

у14 1

у14 2

у14 3

у14 4

у 14

14

y14р

15

+

-

-

-

+

у15 1

у15 2

у15 3

у15 4

у 15

15

y15р

16

+

-

-

-

-

у16 1

у16 2

у16 3

у16 4

у 16

16

y16р

Суммарная дисперсия =

где 4 -число параллельных опытов, u - от 1 до 4.