Министерство образования и науки Украины

Запорожский национальный технический университете

МЕТОДИЧЕКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическим и самостоятельным работам

по дисциплинам

“Математическое моделирование технологических процессов”

“Математическое моделирование процессов АД и ЭУ”

для студентов специальностей

8.05110203 "Технология производства авиационных двигателей"

8.05110202 "Авиационные двигатели и энергетические установки"

всех форм обучения

2015

Методические указания к практическим и самостоятельным работам по дисциплинам "Математическое моделирование технологических процессов" “Математическое моделирование процессов АД и ЭУ” для студентов специальностей 8.05110203 "Технология производства авиационных двигателей" 8.05110202 "Авиационные двигатели и энергетические установки" всех форм обучения / Сост. Павленко Д.В., Ткач Д.В. ‒ Запорожье. ‒ ЗНТУ, 2015. ‒ 107 с.

При разработке курса использованы материалы к.т.н., доц. кафедры "Технология автоматизированного машиностроения" Ивановского государственного энергетического университета Копосова В.Н.

Сост: Павленко Д.В., доц, к.т.н.. Ткач Д.В. доц., к.т.н.

Рецензент: Качан А.Я., проф., д.т.н.

Утверждено

на заседании кафедры ТАД

(протокол №__3__)

от "__29__" ___10___ 2014 г.

С ОДЕРЖАНИЕ

Практическое занятие №1 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА 6

Практическое занятие №2 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О НОРМАЛЬНОМ ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 19

Практическое занятие №3 ИСКЛЮЧЕНИЕ ГРУБЫХ ОШИБОК ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ВЫБОРОК 29

Практическое занятие №4 КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФОВ СТАТИСТИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ 35

Практическое занятие №5 ПОДБОР ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 44

Практическое занятие №6 АНАЛИЗ СТАБИЛЬНОСТИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ДЕТАЛИ ТИПА «ВАЛ» 57

Практическое занятие №7 ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА 63

Практическое занятие №8 ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМОВ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО ФРЕЗЕРОВАНИЯ ЛОПАТОК МОНОКОЛЕС МЕТОДОМ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 74

ЛИТЕРАТУРА 86

Приложение 1. Значения критерия достоверности по Стьюденту 88

Приложение 2. Таблица значений функции Лапласа 88

Приложение 3 Таблица значений плотности стандартного нормального распределения 91

Приложение 4. Таблица критических точек распределения Пирсона «хи-квадрат») 94

Приложение 5 Таблица значений F-критерия Фишера при уровне значимости 96

Приложение 6. Критические точки распределения Стьюдента 97

Приложение 7. Задания к практическим занятиям 99

Практическое занятие №1 Статистическая обработка результатов эксперимента 4

Практическое занятие №2 Проверка гипотезы о нормальном законе распределения 17

Практическое занятие №3 Исключение грубых ошибок из экспериментальных выборок 27

Практическое занятие №4 Корреляционный анализ, построение графов статистических связей 33

Практическое занятие №5 Подбор эмпирических формул с использованием метода наименьших квадратов. Регрессионный анализ 41

Практическое занятие №6 Анализ стабильности технологического процесса механической обработки детали типа «вал» 53

Практическое занятие №7 Планирование эксперимента. построение математической модели технологического процесса 59

Практическое занятие №8 Оптимизация режимов высокоскоростного фрезерования лопаток моноколес методом линейного программирования 71

Литература 84

Приложение 1. Значения критерия достоверности по Стьюденту 86

Приложение 2. Таблица значений функции Лапласа 86

Приложение 3 Таблица значений плотности стандартного нормального распределения 89

Приложение 4. Таблица критических точек распределения Пирсона «хи-квадрат») 92

Приложение 5 Таблица значений F-критерия Фишера при уровне значимости 94

Приложение 6. Критические точки распределения Стьюдента 95

Приложение 7. Задания к практическим занятиям 97

Практическое занятие №1 статистическая обработка результатов эксперимента

Цель работы - сформировать умение проводить статистическую обработку и оценку экспериментальных данных для определения их достоверности.

1 Общие сведения

На результаты измерений, полученных в ходе выполнения эксперимента, влияют множество различных факторов. Например, при проведении экспериментальных исследований показателей работы транспортных средств при перевозке грузов на результаты измерений часто воздействуют факторы, вызывающие ошибки измерений из-за неопытности экспериментатора, погрешности приборов, влияния на процесс измерения окружающей среды и др. Поэтому для объективной оценки достоверности полученных результатов, выявления и отсеивания грубых ошибок используют статистические показатели.

1.1 Распределение частот и его графическое изображение

Первичная информация, полученная в результате проведения экспериментальных исследований, как правило, систематизируется в виде таблиц и графиков.

Для облегчения анализа этих данных величины распределяют по группам с определенным интервалом I, который определяют по следующему выражению

(1)

где х_max, x_min – соответственно максимальное и минимальное значение величины измерений, полученных при эксперименте;

k – количество групп.

Количество групп принимается исследователем, но с учетом того, что их количество должно быть не менее 5 и не более 20.

Ориентировочно число групп может быть определено как корень квадратный из объема выборки n, то есть

(2)

При выборе границ следует принимать верхнюю границу группы меньше нижней границы прилегающей группы на цену деления.

Распределение опытных данных по группам обычно производят с помощью таблиц, где в одной колонке указывается интервал группировки, а в другой - число результатов измерений, входящих в данный интервал, то есть частоту f.

Для наглядного представления о распределении частот f используют графическое изображение данных, которое позволяет определить общую закономерность распределения наблюдений.

Для построения кривой распределения на горизонтальной линии (ось абсцисс) наносят значения интервала группировки, а по вертикали (ось ординат) – численности этих значений или частоту (рис. 1).

Рисунок 1. Графическое построение распределения экспериментальных данных по группам

Ступенчатый график, выполненный в виде столбиков, высота которых равняется частотам, а ширина – интервалам классов, называется гистограммой, из которой легко получить полигон – кривую распределения, соединив пунктирной линией средние значения групп.

Как правило, при правильно спланированном экспериментальном исследовании, в частности транспортно-технологического процесса по перевозке грузов или пассажиров его результаты группируются вокруг центра распределения, при удалении от которого в правую или левую сторону их частоты убывают (рис. 1).

1.2 Статистические показатели для обработки экспериментальных данных

Среднее арифметическое значение

(3)

где – величина результата i-го опыта; n – количество опытов.

Основное свойство средней арифметической заключается в равенстве суммы всех положительных и отрицательных отклонений от нее, то есть сумма центральных отклонений всех отдельных данных опыта от равна нулю

(4)

Если сумма оказалась неравной нулю, то в расчетах допущена ошибка.

Средняя взвешенная арифметическая величина

(5)

Дисперсия. Представляет собой частное от деления суммы квадратов отклонений на число всех измерений без единицы, то есть

(6)

Для определения рассеивания показателей измерений от среднего значения также используют среднее квадратическое отклонение. Его находят извлечением квадратного корня из дисперсии.

(7)

Если значения измерений сгруппированы и определены частоты групп, то дисперсию и среднее квадратичное отклонение находят по выражениям

(8)

(9)

Стандартное отклонение и дисперсия являются наиболее употребительными и стабильными показателями оценки рассеяния экспериментальных данных: чем больше их значение, тем более рассеяны от среднего значения, то есть больше изменчивость; с уменьшением этих величин изменчивость снижается.

Стандартное отклонение является показателем, который дает представление о наиболее вероятной средней ошибке отдельного, единичного наблюдения, взятого из данной совокупности. В пределах одного значения (1S) укладывается примерно 2/3 всех результатов измерений, что равняется около 68,3 % всех вариант. Возможны отклонения от среднего значения, превосходящие ±1S, но вероятность их по мере удаления отклонений от ±1S уменьшается. Так, вероятность получить величину измерений, отклоняющуюся от среднего значения на величину ±3S, составляет всего лишь 0,3 %. Поэтому утроенное значение стандартного отклонения принято считать предельной ошибкой отдельного измерения.

Коэффициент вариации V – стандартное отклонение, выраженное в процентах к средней арифметической данной совокупности результатов измерений

(10)

Коэффициент вариации является относительным показателем изменчивости. Применение коэффициента вариации имеет смысл при изучении вариации признака, имеющего только положительные значения.

Изменчивость принято считать незначительной, если коэффициент вариации не превышает 10%. Если V находится в диапазоне от 10 до 20%, то средней. При V>20 % изменчивость считается значительной.

Коэффициент вариации позволяет производить сравнение результатов измерений, имеющих различную размерность.

Ошибка выборочной средней или ошибка выборки прямопропорциональна выборочному стандартному отклонению и обратно пропорциональна корню квадратному из числа измерений

(11)

Ошибки выборки выражают в тех же единицах измерения, что и варьирующий признак, и приписывают к соответствующим средним со знаком ±, то есть .

Чем меньше варьирует опытный материал и чем из большего числа измерений определено среднее арифметическое, тем меньшее значение будет иметь ошибка средней арифметической.

Относительная ошибка выборочной средней. Она представляет собой ошибку выборки, выраженной в процентах от соответствующей средней

(12)

Относительную ошибку иногда еще называют «точностью опыта», «точностью анализа». Чем меньше значение , тем достовернее, надежнее полученная средняя арифметическая измеряемой величины показателя.

Достоверность средней арифметической величины. Она определяется по критерию достоверности t, рассчитываемому по формуле:

(13)

Если вычисленное значение t будет меньше ±1,96, то выборочная средняя арифметическая не достоверна. Значит, она не может служить характеристикой генеральной совокупности, и в этом случае полученные в опыте данные не имеют ценности, так как выводы не могут быть распространены на генеральную совокупность, изучение которой служит основной целью опытов, построенных на выборочном методе.

При малом числе измерений, наблюдении (n < 30) на величину t оказывает влияние объем выборки. Чем меньше выборка, тем менее точно величина t позволяет судить о достоверности выборочной средней. Значение t с поправкой этой величины на число наблюдений при n < 30 находят по таблице (см. приложение 7).

Если вычисленное значение t при заданном числе степеней свободы m

(14)

больше табличных значений на трех уровнях доверительной вероятности (Р – 0,95; 0,99; 0,999), то считают полученную среднюю арифметическую высоко достоверной.

Как правило, уровень доверительной вероятности в особо ответственных случаях принимают Р = 0,99; при обработке аналитических данных – Р = 0,95; при обработке данных технологического эксперимента – Р = 0,90; при обработке данных биологического эксперимента – Р = 0,80.