курсовая работа Суточный ход

1

2

ВВЕДЕНИЕ

Задача о суточном ходе метеорологических величин является классическим примером нестационарной задачи. Суточным ходом метеорологической величины называется изменение метеорологической величины в течение суток. Суточный ход обусловлен таким геофизическим фактором, как вращение Земли вокруг собственной оси. Вращение Земли определяет приток солнечного тепла, изменения которого служат первоосновой суточного хода всех метеорологических величин. Суточный ход характеризуется одним максимумом и одним минимумом в течение суток (за исключением особых случаев). Примером особого случая может быть двойной максимум абсолютной влажности в континентальном климате. При любых обстоятельствах амплитуда суточных колебаний уменьшается с высотой. На суточный ход метеорологических величин часто налагаются искажающие или даже перекрывающие его (особенно во внетропических широтах)

непериодические влияния адвекции, изменений облачности и прочие.

Между суточными ходами различных метеорологических величин существует тесная связь: изменения температуры подстилающей поверхности приводят к изменению температуры воздуха. Однако под влиянием суточных колебаний температуры поверхности изменяется не только сама температура воздуха, но и ее вертикальный градиент. Поскольку от градиента температуры существенно зависит интенсивность турбулентного обмена, его изменения сказываются на распределении всех метеорологических величин, профили которых формируются под влиянием вертикального турбулентного обмена.

Таким образом, изменение потока лучистой энергии в течении суток вызывает суточные колебания полей температуры, влажности, скорости ветра и интенсивности турбулентного обмена. Взаимность суточных колебаний всех метеорологических величин является важной особенностью процесса.

Суточные колебания метеорологических величин имеют место,

главным образом, в пограничном слое атмосферы, то есть в том слое, где

3

выражен вертикальный турбулентный обмен между поверхностью и воздухом.

1. Постановка модельной задачи о суточном ходе температуры воздуха и почвы c постоянными коэффициентами температуропроводности

Рассмотрим модельную задачу о суточном ходе температуры над сухой подстилающей поверхностью. Поскольку подстилающая поверхность – основной получатель солнечной радиации – является поверхностью контакта таких двух сред как атмосфера и почва, то необходимо рассматривать совместно уравнения теплопроводности атмосферы и почвы. Если изменение температуры в пограничном слое атмосферы происходит только за счет турбулентного обмена теплом с подстилающей поверхностью, а в почве только за счет молекулярного обмена теплом с поверхностью, то уравнения теплопроводности атмосферы и почвы записываются в виде

Заметим, что в атмосфере вертикальная ось (ось высот) направлена от подстилающей поверхности ( = 0) вверх, а в почве вертикальная ось 1 (ось глубин) направлена от подстилающей поверхности ( 1 = 0) вниз.

Приняты следующие обозначения

– потенциальная температура воздуха;

1 – температура почвы;

– коэффициент турбулентной температуропроводности почвы (его чаще называют коэффициент турбулентности для тепла);

4

– коэффициент молекулярной температуропроводности почвы.

Коэффициенты и в общем случае являются функциями соответствующей вертикальной координаты и времени. Наиболее простой подход состоит в том, чтобы задать эти коэффициенты в виде постоянных величин. Несмотря на то, что это не вполне соответствует реальности, есть ряд существенных достоинств такого допущения.

Во-первых, существенно упрощается решение уравнений, так как они становятся линейными.

Во-вторых, исключается обратная связь суточного хода температуры и суточного хода интенсивности обмена теплом, а также взаимная обусловленность суточных колебаний всех метеорологических величин.

Таким образом, можно рассматривать суточные изменения температуры в отдельности от суточных изменений других величн.

В-третьих, такой подход позволяет выяснить ряд наиболее существенных особенностей процесса и, кроме того, дает возможность получить связь между коэффициентом температуропроводности воздуха

(почвы) и характеристиками суточного хода, например, амплитудой колебаний температуры воздуха (почвы), скоростью затухания ее с высотой

(глубиной).

Итак, с учетом = , = имеем

Система (1.2) содержит две производных первого порядка по времени

идве производных второго порядка по вертикальной координате,

следовательно, для однозначности решения необходимо задать начальные и

граничные условия.

5

Вопрос о начальных условиях решается следующим образом. В задаче суточного хода температуры рассматривается периодический процесс, при этом, если периодический процесс продолжается достаточно долго, то начальные условия перестают сказываться, и тогда говорят, что в среде установился регулярный режим. В таком случае задача может быть

рассмотрена без начальных условий.

Количество граничных условий определяется числом и порядком производных по пространственным координатам. В нашем случае требуется

сформулировать четыре граничных условия.

Первые два граничных условия – условия затухания колебаний температуры. Поскольку суточные колебания температуры имеют место в

колебания. С точки зрения решения задачи, удобно задавать граничное условие при → ∞. Аналогично, суточные колебания температуры почвы имеют место в пределах деятельного слоя почвы. Таким образом пара граничных условий записывается в следующем

Третье граничное условие – условие склейки температур воздуха и почвы. Оно состоит в том, что на подстилающей поверхности температуры воздуха и почвы равны и определяются некоторой функцией времени

Четвертое граничное условие – тепловой баланс подстилающей поверхности. Он задает условия теплообмена на границе контакта двух сред и

6

формулируется через уравнение теплового баланса, которое при записи потоков через градиенты имеет вид

Здесь

– плотность воздуха;

– удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении;

1 – плотность почвы;

1 – удельная теплоемкость почвы.

Функция ( ) описывает суточный ход радиационного баланса и в общем случае представляет собой достаточно сложную функцию времени особенно при наличии облачности. Но любую функцию можно представить в виде разложения в ряд по тригонометрическим функциям

Однако ограничимся анализом случая, когда радиационный баланс земной поверхности является простой тригонометрической функцией времени,

записанной в виде следующего соотношения

где

– амплитуда колебаний радиационного баланса;

– частота суточных колебаний равная угловой скорости вращения

Земли.

С учетом (1.7) уравнение теплового баланса (1.5) принимает вид

7

2. Формулировка задачи о суточном ходе температуры воздуха и почвы в отклонениях от среднесуточных значений

Многие задачи физики решаются в отклонениях от какого-либо известного состояния. Использование отклонений часто позволяет упростить и уравнения, и начальные, и граничные условия. В связи с этим и рассматриваемую задачу целесообразно записать в отклонениях от среднесуточных значений. Представим радиационный баланс, температуры воздуха и почвы в виде суммы среднесуточный значений и отклонений от них

Обращаем внимание, что среднесуточные значения температуры зависят только от вертикальной координаты.

В силу линейности системы (1.2), используя равенства (2.1), можно сформулировать отдельно две задачи:

- стационарная задача о распределении с высотой среднесуточных величин

8

- нестационарная задача о суточном ходе отклонений температуры

Поскольку основное внимание данной работы сфокусировано на суточном ходе температуры, то будем рассматривать лишь нестационарную задачу (2.3).

Переформулируем граничные условия для отклонений.

Условия затухания колебаний температуры принимают вид

В результате перехода к отклонениям пара граничных условий (1.3)

упростилась: они стали нулевыми.

Поскольку ̅0 = ̅п0, то условие склейки остается в силе и для отклонений

Запишем уравнение теплового баланса для средних величин

Вычитая соотношение (2.7) из выражения (1.5), получим уравнение для отклонений

Итак, сформулированная задача в отклонениях имеет вид

3. Решение задачи о суточном ходе температуры воздуха и почвы

Из системы (2.9) видно, что задачи о суточном ходе температуры воздуха и почвы математически подобны. Основное отличие состоит в том,

что интенсивность турбулентного обмена теплом в атмосфере на порядки превосходит интенсивность молекулярного обмена теплом в почве.

Рассмотрим уравнение теплопроводности воздуха

и найдем его решение. Учитывая, что решение имеет волновой характер, его можно искать в виде

где , , , – произвольные постоянные. Подставляя соотношение (3.2) в

дифференциальное уравнение (3.1), беря соответствующие производные от выражения (3.2), приходим к следующему равенству

Поскольку выражение (3.2) должно обращать уравнение теплопроводности в тождество, то коэффициенты при одинаковых

Отсюда

{ = ±√⁄ = ±( + 1)√⁄2 . (3.5)

= ±√−⁄ = ±( − 1)√⁄2

Сучетом полученных выражений для величин и , соотношение (3.2)

принимает вид