Принятие решений Методы анализа иерархий Томас Саати, Москва Радио и связь 1993 (Книга)

или

w1 + 2w2 = λ1w1 ,

откуда

3w1 + 4w2 = λ1w2 .

Так как матрица A −λ1I – вырожденная, существует зависимость между её строками, и поэтому второе уравнение не содержит новой информации. Собственный вектор w получается в результате присваивания произвольного значения w2 и вы-

числения w1 согласно полученному выше соотношению. Присвоим w2 значение 1. Тогда имеем

w = λ12−1, 1 .

Можно нормализовать w , приравнивая сумму коэффициентов единице. Разделим

Поскольку умножение на постоянную не влияет на решение уравнения Aw = λw , будем рассматривать собственные векторы w всегда в нормализованном виде. Ана-

логично можно получить собственный вектор, соответствующий λ2 . Собственные

значения как корни любого полиномиального уравнения можно получить, используя различные стандартные численные методы. В настоящее время существуют пакеты компьютерных программ для нахождения этих корней. Для уравнения, являющегося характеристическим уравнением матрицы, существуют компьютерные программы, которые для данной матрицы находят собственные векторы.

Собственные значения матрицы, будучи корнями ее характеристического уравнения, могут быть комплексными числами и, следовательно, попарно комплексно-

(a2 +b2 )1/ 2 . Если элементы матрицы – действительные и она симметричная, все ее

собственные значения действительны. Собственные ректоры, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Этим же свойством обладает эрми-

това матрица. Матрицы A и AT имеют одни и те же собственные значения, но в общем случае не одни и те же собственные векторы.

Следующая теорема (см. [48]) может быть применена к

aij = wi εij ,

wj

если использовать непрерывное преобразование, например логарифмическую функцию. Теорема утверждает, что собственные значения матрицы непрерывно зависят от ее коэффициентов (это то же, что непрерывная зависимость корней полинома от его коэффициентов).

241

Теорема. Если произвольная матрица A = (aij ) имеет собственные значения

i, j =1, …, n .

Существуют различные способы оценки λmax , здесь представлен один из хорошо известных:

Например, для обратносимметричной матрицы размерности 3×3

242

Аналогичное вычисление для обратносимметричной матрицы размерности 4×4 дает

Отметим, что слагаемые компенсируют друг друга, так как коэффициент в числителе одного члена также появляется в знаменателе следующего. Поэтому возрастание этого коэффициента увеличивает один член и уменьшает другой. В общем случае это неверно для необратносимметричных матриц.

Часто встречаются функции матрицы A , такие, как степени и экспоненты. Имеет смысл рассмотреть такие функции. Существует следующая теорема из этой области, принадлежащая Сильвестру (см. [49]):

рицы A , т. е. они обладают свойствами

где I и O – единичная и нулевая матрицы соответственно.

При различных характеристических значениях для матрицы A порядка n имеем

[64]

n

f (A)= ∑ f (λi )Z (λi ),

i=1

где

∏(λi I − A)

243

αi = ∏(fλ(iλ−i )λj ),

j≠i

что и дает искомый результат.

При f (A)= exp (At ) и различных характеристических значениях A имеем спек-

тральное разложение f (A), заданное выражением

f(A)= ∑exp (λit )Z (λi ).

i=1n

Случай кратных характеристических корней выводится из иного варианта теоремы Сильвестра. Если напишем для краткости

k

f (A)= ∑T (λi ),

i=1

где k – количество различных корней, тогда

T (λi )= f (λi )Zmi −1 (λi )+ f ′(λi )Zmi −2 (λi )+ f ′′z(!λi )Zmi −3 (λi )+…

то

244

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Определения

Граф – это множество точек V , вершин или узлов, и множество простых кривых

E , граней или ребер, связь которых с вершинами, называемыми его концевыми точками, описывается определенным правилом. Говорят, что вершины инцидентны ребру. Открытое ребро инцидентно в точности двум различным вершинам. Замкнутое ребро (называемое петлей) инцидентно в точности одной вершине и, следовательно, его концевые точки совпадают. Ребра не имеют общих точек, за исключением вершин.

На рис. П.1 v1 и v2 – примеры вершин; e1 – петля, концевая точка которой – v5 ; e2 – открытое ребро с концевыми точками v2 и v3 .

Рис. П.1

Рис. П.2

245

∑d (v)+ ∑d (v) = ∑dv = 2 E ,

и j , i ≠ j , маршрут называют цепью. Замкнутая цепь называется циклом (контуром). Если все вершины различны, маршрут называется простой цепью, в то время как при v0 = vn и различных всех остальных вершинах имеем простой цикл при условии n ≥ 3 . Пример простой цепи дан последовательностью ребер

{e3 , e4 , e7 , e2}≡{(v6 , v1 ), (v1, v5 ), (v5 , v2 ), (v2 , v3 )}

на рис. П.1. Здесь каждое ребро в последовательности заменено парой вершин, которые являются его концевыми точками, так как следуют друг за другом в маршруте

v6 , v1 , v5 , v2 , v3 . Аналогичные определения могут быть даны для направленных гра-

фов, если учитывать направление каждой дуги. Здесь речь идет о направленных

(ориентированных) маршрутах, путях и контурах, а также о простых путях и простых контурах.

Граф называют связным (сильно связным) в ненаправленном (направленном) смысле, если существует простая цепь (путь) между любой парой вершин. Граф с

n +1 вершинами является n -связным, если после удаления n −1 или менее вершин он остается связным. Две цепи называют параллельными, если у них нет общих вершин, за исключением их концевых точек.

Компонента C графа G – максимальный связный подграф (т. е. каждая вершина, которая смежна вершине в C , также принадлежит C , и все ребра G инцидентные вершинам C , также принадлежат C ).

Поддерево – это связный подграф, не имеющий циклов. Перекрывающее дерево

– это (максимальное) поддерево, которое содержит все вершины графа. Ребро графа, не принадлежащее дереву, называют хордой. Ребро графа, принадлежащее дереву, называют ветвью. Когда хорда добавляется к перекрывающему дереву, в результате получается цикл, который называется фундаментальным циклом. На рис. П.4 приводится перекрывающее дерево для направленного графа. Корень де-

рева находится в вершине v0 , из которой начинаются все пути, существующие на дереве.

Рис. П.4

247

ние первого определения, но чаще используется эквивалентное ему второе определение. В действительности второе определение намного богаче, так как охватывает целую область проблем достижимости графа или подграфов этого графа. Например, можно начать требовать большего. Можно ли начать с вершины и пройти по ребрам графа последовательно без повторения? Можно ли проделать это и закончить перемещение на начальной вершине? Можно ли, стартуя с вершины, пройти простую цепь через все вершины с возвращением или без возвращения к начальной верши-

не? Можно ли проделать это, если рассматривать только подграфы n −1 вершин? Другой вопрос касается того, насколько велика связность графа. Имеются два

пути исследования этой проблемы: через ребра графа и через его вершины. Граф можно сделать несвязным, убрав одновременно несколько ребер.

Минимальный набор из таких ребер известен как разрез, а наименьшее число ребер в разрезе называется степенью связности графа. Степень связности дерева равна единице. Ясно, что дерево – это наиболее слабый тип связного графа. С другой стороны, если убрать из цикла ребро, то останется связный граф (фактически дерево).

В терминах реберной связности величину связности графа можно измерить через минимальное число цепей, связывающих любую пару вершин, или через существующие простые циклы различных размеров. Цепи и циклы, с одной стороны, и разрезы – с другой, являются двумя дополнительными путями изучения связности и ее отсутствия. Даже вопросы планарности (построение графа на плоскости без пересечений ребер в точках, не являющихся вершинами) и непланарности графов относятся к связности. Уменьшая число ребер непланарного графа, его можно сделать планарным.

Существуют два подхода к изучению того, как вершины разделяют граф. Первый ассоциируется с понятием степени вершины. Например, если в дереве с вершиной степени два исключить ее вместе с инцидентными ей ребрами, то оставшийся граф будет несвязным. С другой стороны, если граф является простым циклом и, следовательно, любая вершина имеет степень два, исключение вершины не превратит граф в несвязный. Представляется допустимым тот факт, что чем выше степени вершин, тем сильнее будет связность. Однако выражение такого типа слишком общее и нуждается в уточнении в контексте конкретной проблемы.

Вершина графа называется точкой артикуляции, или разделяющей вершиной,

если ее исключение делает граф несвязным. Кратность разделяющей вершины – это число компонент, на которые распался граф после ее удаления. Может существовать более чем одна вершина, являющаяся точкой артикуляции. Например, на рис.

П.1 v2 и v5 – точки артикуляции, v6 не является таковой. Набор точек артикуляции

образует множество вершин артикуляции, которые в контексте коммуникационных сетей можно считать «узким местом» графа. Конечно, граф может не иметь точки артикуляции (такой граф называют несепарабельным), однако удаление одновре-

менно k вершин делает его несвязным. Такое множество известно как множество артикуляции степени k .

Граф k -связный, 0 ≤ k ≤ n , если удаление k −1 или менее вершин не делает его несвязным. Любая пара вершин такого графа может быть соединена k параллельными цепями (из которых никакие две не имеют общих вершин). Граф, не имеющий множества артикуляции степени k , называется k -несводимым. В противном случае говорят, что граф k -сводимый.

До сих пор речь шла об общем ненаправленном графе. Вопросы связности несколько усложняются, если ребрам графа приписываются направления. Здесь граф может быть связным в ненаправленном смысле и может быть, но только слабо связным, в направленном смысле. Следовательно, возможен путь из одной вершины в

249

другую, но не наоборот, т. е. граф – не сильно связный. Ясно, что циклы играют важную роль в сильно связных графах.

250