Принятие решений Методы анализа иерархий Томас Саати, Москва Радио и связь 1993 (Книга)
.pdfведение двух векторов и называется скалярным или
точечным произведением и обозначается (v, w) = v1w1 +v2 w2 +…+vn wn . Оно получается в результате умножения соответствующих компонент и сложения.
|
|
|
Длина вектора |
v = (v1, …, vn ) обозначается |
|
v |
|
|
и определяется |
как |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
v |
|
= (v12 +…+vn2 )1/ 2 , |
что является евклидовой длиной. Из аналитической геометрии |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
известно, что угол θ |
между любыми двумя прямыми, направляющие которых суть |
||||||||||||||||
(v1, …, vn ) и (w1, …, wn ), удовлетворяет выражению |
|
cosθ = (v1w1 +…+vn wn ) |
v w . |
||||||||||||||
Поэтому (v, w)= |
|
v |
|
|
|
w |
|
cosθ Заметим, что два вектора |
(1, 3, 2) |
и (4, 0, −2) – ортого- |
|||||||
|
|
|
|
нальны.
С матрицей A порядка n ассоциируется число, которое называется ее определителем (детерминантом) и обозначается A или det (A). Определитель – это ал-
гебраическая сумма всех возможных произведений n элементов, в каждом из кото-
рых имеется один элемент из каждой строки и каждого столбца A . Можно расположить элементы каждого члена этой суммы в порядке, соответствующем порядку
столбцов A . Получим n вариантов для элементов первого столбца, затем n −1 вариантов для элементов из второго столбца, два варианта для элементов предпоследнего столбца и один для элементов последнего столбца. Это дает
вариантов. (Произведение первых n положительных целых чисел
называется n -факториал и обозначается n!.) Каждому варианту соответствует отдельное слагаемое. Следовательно, определитель порядка n состоит из n! слагаемых.
В алгебраической сумме каждому слагаемому придается положительный или отрицательный знак в соответствии со следующим правилом. Расположим элементы каждого слагаемого в соответствии с порядком столбцов матрицы и рассмотрим последовательность индексов соответствующих строк. Эту последовательность можно построить перестановками пар элементов в последовательности натуральных чисел
1, 2, …, n . Если число перестановок четное (нечетное), знак слагаемого будет поло-
жительным (отрицательным). Следовательно, знак будет (−1)s , где s – число перестановок. Например, слагаемое в определителе матрицы A размерности
3×3 приводит к последовательности строчных индексов 2, 3, 1. Чтобы привести эту последовательность к форме 1, 2, 3, следует провести две перестановки: переставить 1 и 2, а затем переставлять 2 и 3. Две перестановки приводят к положительно-
му знаку слагаемого. Слагаемому со строчными индексами 1, 3, 2 требуется
одна перестановка элементов 3 и 2 для приведения к форме 1, 2, 3. Следовательно, слагаемое получает отрицательный знак. Применяя это правило, легко увидеть, чему равен определитель матрицы
2 1 4
3 0 −5 = (2)(0)(−1)+(−1)(−5)(1)+(4)(3)(−1)−(4)(0)(1)−(1)(3)(−1)−
−1 −1 −1
−(2)(−5)(−1)= −24 .
Из многих известных свойств определителей отметим следующие: AB = A B ; если строка или столбец умножается на α , то определитель A умножается на α ;
236