Движение тела с переменной массой.

Под точкой переменной массы подразумевается геометрическая точка, в которой сосредоточена конечная масса т, изменяющаяся во время движения по определенному закону.

Так, при движении масса ракеты изменяется за счет выбрасывае­мых из нее продуктов сгорания. Поступательное движение этой ра­кеты может быть легко сведено к изучению движения какой-либо ее характерной точки. Дифференциальные уравнения движения этой точки будут представлять собой дифференциальные уравнения дви­жения точки переменной массы m(t). Другим примером тела переменной массы может служить рулон газетной бумаги, так как при разматывании его на валу печатной машины масса его уменьшается. Классическим примером динамической задачи, где необходимо учитывать изменения масс движущихся тел, является шахтный подъ­емник. При опускании груза в шахту длина подъемного каната, а следо­вательно, и его масса увеличиваются за счет уменьшения массы кана­та, навитого на барабане. При подъеме груза наблюдается обратное явление. Можно привести еще ряд примеров, когда масса тел при движении увеличивается. Так, при падении на Землю метеоритов масса Земли увеличивается. Масса Солнца в результате лучеиспускания умень­шается, а при присоединении космической пыли возрастает.

Основоположник механики тел переменной массы И. В. Мещерский (1859-1935) в основу своих исследований положил гипотезу близкодействия отбрасываемых частиц. При этом допускалось, что при отделении от тела частицы происходит удар, при котором за весьма малый промежуток времени отбрасываемая частица получает отно­сительную скорость, и тогда дальнейшее взаимодействие отбрасы­ваемой частицы с данным телом прекращается. Пользуясь этой гипотезой, И. В. Мещерский вывел основное урав­нение движения точки переменной массы. Существенно подчеркнуть, что здесь речь идет о движении тел переменной массы в пределах классической механики. При этом масса тел определяется обычным путем и изменяется по заранее заданному закону. Поэтому переменная масса, которая рассматривается в данном разделе, не имеет ничего общего с переменной массой, фигурирующей в теории относительности.

Второй закон Ньютона в виде ma=F предполагает постоянство массы движущего тела. В тех случаях, когда масса тела изменяется (например, в ракетах в результате сгорания топлива) или при изменении соотношения между движущейся и неподвижной частями рассматриваемого тела, то производить расчеты по указанной формуле нельзя и следует воспользоваться другой записью второго закона Ньютона:

Отметим, что второй закон Ньютона в данной формулировке справедлив и для случая движения тела со скоростью, близкой к скорости света, то есть является основным законом релятивистской динамики.

Пример 15. Кобра массой m и длиной l поднимается вверх с постоянной скоростью v (рис.28). С какой силой кобра давит на пол?

Рис.28

Решение. Изменение импульса кобры в данном случае связано не с изменением скорости, а с изменением массы, участвующей в движении. Будем считать массу тела кобры равномерно распределенной по ее длине. За время dt движущаяся масса возрастает на величину

где dx - увеличение длины движущейся части кобры. Приращение импульса за это время составляет

Под действием каких сил происходит изменение импульса в данном случае?

На кобру действуют две силы: сила тяжести mg и сила реакции пола N. По третьему закону Ньютона кобра давит на пол с силой, равной N по абсолютному значению. Запишем второй закон Ньютона с учетом направлений сил и приращения импульса

Подставляя в него формулу (1) и учитывая определение скорости , находим искомую силу:

Рассмотрим теперь два примера, условия которых на первый взгляд почти не отличаются, но при более внимательном подходе оказываются существенно различными, вследствие чего примеры имеют разные решения.

Пример 16. Платформа массой m начинает двигаться под действием постоянной горизонтальной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна μ (кг/с). Найти зависимость от времени скорости и ускорения платформы в процессе погрузки. Трение пренебрежимо мало.

Пример 17. Тележка с песком движется по горизонтальной поверхности под действием постоянной силы F, совпадающей по направлению с ее вектором скорости. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью μ (кг/с). Найти ускорение и скорость тележки в момент времени t, если в момент t = 0 тележка с песком имела массу m₀ и скорость ее была равна нулю. Трением пренебречь.

Решение. В этих примерах рассматривается движение тел переменной массы, в первой задаче движущаяся масса возрастает, во второй - уменьшается. В обоих примерах тела движутся под действием постоянной силы при отсутствии трения. Для тел переменной массы обычно применяют второй закон Ньютона в виде

Отметим, что в данном случае это уравнение записано для тележки (или платформы) с песком. Однако необходимо обсудить, что влияет на изменение импульса в первом и во втором случаях.

Поскольку бункер неподвижен (пример 16), песок, ссыпаясь вертикально на платформу, не изменяет ее горизонтального импульса. Импульс платформы с песком изменяется (возрастает) благодаря действию постоянной силы F. Изменение импульса за время dt равно dp=Fdt. Интегрирование этого соотношения дает p-p₀=F(t-t₀) или, учитывая, что в начальный момент времени платформа покоилась (t₀=0, p₀=0), p=Ft. Отсюда Учитывая зависимость массы от времени m=m₀+μt, получаем

Используя определение ускорения , находим его зависимость от времени

Во второй задаче (пример 17) импульс тележки с песком изменяется не только вследствие действия силы, часть импульса “уносится” вместе с высыпающимся песком, который перестает “принадлежать” тележке. Если в момент времени t тележка (и песок, находящийся на ней) имели скорость v и за время dt высыпалась масса песка dm, имеющая импульс dmv, то импульс тележки за это же время изменился на

В данном случае dm - величина отрицательная (масса песка на тележке убывает), высыпание песка из движущейся тележки приводит к уменьшению импульса на dmv, сила, действующая в направлении движения, увеличивает импульс тележки на величину, равную Fdt.

Из определения импульса p=mv следует, что его изменение

dp=dm∙v+m∙dv.

Таким образом,

dm∙v+m∙dv=F∙dt+dm∙v,

откуда

Учитывая зависимость массы от скорости

и определение ускорения

получаем зависимость ускорения от времени

Изменение скорости за время dt равно

Интегрирование этого выражения приводит к искомой зависимости скорости от времени:

Совместное применение законов динамики и методов решения кинематических задач.

Пример 18. На небольшое тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной поверхности (рис.29), в момент t=0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону F = kt, где k - постоянная. Направление этой силы все время составляет угол α с горизонтом. Найти скорость тела в момент отрыва от плоскости и путь, пройденный телом к этому моменту.

Рис.29

Решение. Эта несложная с точки зрения применения законов динамики задача интересна тем, что в ней рассматривается результат действия переменной силы F. Возрастающая вертикальная составляющая силы F_y приводит к уменьшению силы N взаимодействия тела и горизонтальной опоры, а в момент отрыва N = 0.

На тело действует Земля с силой mg, горизонтальная опора с силой нормального давления N (сила трения пренебрежимо мала, т.к. поверхность по условию задачи гладкая) и переменная сила F, модуль которой пропорционален времени: F = kt.

По второму закону Ньютона

Спроектируем векторное уравнение на оси координат:

Уравнение (1) позволяет найти ускорение как функцию времени:

Определение пути, пройденного телом, и скорости в момент отрыва - это кинематическая задача первого класса. Воспользуемся определением ускорения и найдем изменение скорости за время dt:

Проинтегрируем это уравнение по времени от t = 0 до произвольного момента времени t и учтем, что начальная скорость тела v₀=0:

Установив зависимость скорости от времени, можно с помощью определения скорости получить зависимость координаты х от времени t.

Рассмотрим момент отрыва тела от поверхности (задача четвертого класса - применение уравнений к конкретным состояниям). В уравнении (2) положим N = 0 и найдем, в какой момент времени произойдет отрыв:

Подставляя это выражение в кинематические уравнения движения, получим

Пример 19. Сплошному однородному цилиндру массы m и радиуса R сообщили вращение вокруг оси с угловой скоростью ω₀ (рис.30). Затем его положили боковой поверхностью на горизонтальную плоскость и предоставили самому себе. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью равен μ Найти время, в течение которого движение цилиндра будет проходить со скольжением, а также скорость, которую приобретет цилиндр к этому моменту.

Рис.30

Решение. Силы, действующие на цилиндр, очевидны: сила тяжести mg, сила нормального давления N и сила трения F_тр. Последняя направлена в сторону, противоположную вектору скорости в точках касания цилиндра, и тормозит его вращение.

Следует обратить внимание на следующее обстоятельство: при проскальзывании цилиндра сила трения

Как только цилиндр начинает катиться без проскальзывания, это соотношение применять нельзя.

Цилиндр участвует в двух движениях: поступательном перемещении вместе с центром масс, которое описывается уравнением движения центра масс

и вращении вокруг оси, проходящей через центр масс, для которого справедливо уравнение динамики вращательного движения

Спроектируем векторные уравнения на оси координат:

Учитывая, что перепишем уравнение (3) в виде

Из уравнения (2) N=mg, F_тр=μmg. Из уравнения (1)

из уравнения (3а)

Отсутствие проскальзывания означает, что при перемещении центра цилиндра на расстояние s_c цилиндр повертывается на угол (рис.31).

Рис.31

Однократное дифференцирование этого соотношения по времени дает связь между скоростью центра масс и угловой скоростью вращения

Поскольку при движении с постоянным ускорением законы зависимости скорости от времени известны, применим их к движению данного цилиндра. Центр масс перемещается равноускоренно, его начальная скорость равна нулю, следовательно,

Вращение цилиндра является равнозамедленным, его начальная угловая скорость равна ω₀, следовательно,

Решая совместно систему кинематических уравнений (4)-(6), находим время, в течение которого цилиндр движется со скольжением

а также скорость цилиндра, которую он приобретает к этому моменту

Пример 20. Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, а затем отпустили (рис.32). Найти: 1) полное ускорение шарика и натяжение нити в зависимости от угла отклонения нити φ от вертикали; 2) угол φ между нитью и вертикалью в момент, когда вектор полного ускорения направлен горизонтально.

Рис.32

Решение. Шарик движется по окружности под действием постоянной силы тяжести, равной mg, и под действием переменной, зависящей от угла φ силы натяжения нити T.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

В данной задаче целесообразно векторное уравнение проектировать на тангенциальное и нормальное направления:

Поскольку обе составляющие ускорения зависят от угла φ, необходимо выразить их через угловые величины:

(Знак “минус” связан с уменьшением угловой скорости ω при увеличении угла φ).

Решение уравнения (2) позволяет определить зависимость угловой скорости от угла. Подставляя в (2), приходим к дифференциальному уравнению, содержащему две разделяющиеся переменные ω и φ:

Разделяя переменные и интегрируя от ω₀=0 до ω и от φ₀=π/2 до φ,

получаем , откуда выражаем зависимость угловой скорости от угла

Подставляя нормальное ускорение в формулу (1),

находим натяжение нити в зависимости от угла φ:

Подставляя выражения для нормального и тангенциального ускорений a_n=2g∙cosφ и a_τ=g∙sinφ в формулу , получаем величину полного ускорения

Теперь ответим на второй вопрос задачи (рис.33). Вектор полного ускорения a направлен горизонтально при условии, что его составляющие связаны соотношением . Подстановка в это выражение a_n=2g∙cosφ и a_τ=g∙sinφ приводит к условию , то есть

Рис.33

Следовательно, вектор полного ускорения направлен горизонтально, если нить, на которой подвешен шарик, составляет с вертикалью угол, равный

Совместное применение законов динамики и законов сохранения. Выбор способа решения.

Пример 21. Небольшое тело А начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса R. Найти угол φ, соответствующий точке отрыва тела от сферы, и скорость в момент отрыва (рис.34).

Рис.34

Решение. Тело А перемещается из состояния I в состояние II под действием двух сил - силы тяжести mg и силы нормального давления N (рис.35). Поскольку характер сил известен, можно решить задачу динамическим способом - применить второй закон Ньютона. С другой стороны, поскольку сила тяжести потенциальная, а сила нормального давления работы не совершает, энергия тела не изменяется, то есть можно воспользоваться законом сохранения энергии.

Рис.35

Рассмотрим оба способа решения задачи.

Динамический способ

По второму закону Ньютона

Спроектируем это векторное уравнение на нормальное и тангенциальное направления

Учитывая, что где ω - угловая скорость, ε - угловое ускорение, перепишем уравнения (1) - (2) в виде:

Откуда

то есть получена зависимость углового ускорения ε от угла φ. Далее следует решить кинематическую задачу по преобразованию уравнений третьего класса. Дополним уравнение (4) соотношениями

Из формулы (5) выразим и подставим в выражение (6), которое, в свою очередь, подставим в уравнение (4):

Из последнего выражения следует, что

Интегрирование уравнения

приводит к следующему выражению:

Подставим в уравнение (3), которое с учетом, что при отрыве сила нормального давления N=0, примет вид :

Из последнего уравнения получим

Выражение для угловой скорости в момент отрыва тела от поверхности сферы примет вид

а для линейной скорости –