Вопросы для самопроверки

- Что называется кинетической энергией механической системы? Какова ее размерность?

- Запишите формулы для вычисления кинетической энергии системы при поступательном и вращательном движении вокруг неподвижной оси.

- Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии материальной точки.

- Выражение кинетической энергии при поступательном, вращательном и плоскопараллельном движении этого тела.

- Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы.

- В каком случае в уравнение теоремы об изменении кинетической энергии не входят внутренние силы этой системы?

- Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии материальной точки в относительном движении. Почему равна нулю работа кориолисовой силы инерции?

- Какова сумма работ внутренних сил твердого тела на любом перемещении тела?

- Как вычисляется сумма элементарных работ внешних сил, приложенных к твердому телу: а) в случае поступательного движения; б) в случае его вращения вокруг неподвижной оси; в) в общем случае его движения?

- Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.

- Запишите формулу, выражающую теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральной форме.

- Для какой системы изменение кинетической энергии не зависит от внутренних сил?

- Как вычисляется мощность сил, приложенных к твердому телу вращающемуся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ?

- Сформулируйте теорему Кенига о кинетической энергии механической системы в общем случае ее движения.

- Как вычисляется кинетическая энергия твердого тела в различных случаях его движения?

Задачи для самостоятельного решения

1. Пуля массой m ударяется о баллистический маятник массой М и застревает в нем. Какая доля кинетической энергии пули перейдет в теплоту?

2. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью 2 м/с, прошел до полной остановки расстояние 20,4 м. Найти коэффициент трения камня по льду, считая его постоянным.

3. Вагон массой 20 тонн, движущийся равнозамедленно, под действием силы трения в 6000 Н через некоторое время останавливается. Начальная скорость вагона равна 54 км/ч. Найти: 1) работу сил трения, 2) расстояние, которое вагон пройдет до остановки.

4. Камень массой 2 кг упал с некоторой высоты. Падение продолжалось 1,43 с. Найти кинетическую и потенциальную энергию в средней точке пути. Сопротивлением воздуха пренебречь.

5. С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую и потенциальную энергию камня спустя одну секунду после начала движения. Масса камня 0,2 кг.

6. Камень бросили под углом 60° к горизонту со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: 1) спустя одну секунду после начала движения, 2) в высшей точке траектории. Масса камня 0,2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

7. Работа, затраченная на толкание ядра, брошенного под углом 30° к горизонту, равна 216 Дж. Через сколько времени и на каком расстоянии от места бросания ядро упадет на землю? Масса ядра 2 кг. Сопротивлением воздуха пренебречь.

8. Сила тяги автомобиля изменяется с расстоянием по законам: а) F=D+Bs; б) F=D+Bs+Сs². Определить работы силы на участке пути (s₁, s₂).

9. По наклонной плоскости высотой 0,5 м и длиною склона 1 м скользит тело массой в 3 кг. Тело приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью 2,45 м/с. Найти: 1) коэффициент трения тела о плоскость, 2) количество тепла, выделенного при трении. Начальная скорость тела равна нулю.

10. К концу тонкой нерастяжимой нити, намотанной на цилиндрический сплошной неподвижный блок массой m₁=200 г, прикреплено тело массой m₂=500 г, которое находится на наклонной плоскости с углом наклона α=45°. Нить, удерживающая тело, параллельна наклонной плоскости. Какой путь пройдет тело по наклонной плоскости за t=1 с, если коэффициент трения скольжения по наклонной плоскости μ=0,1.

11. Какую работу нужно совершить, чтобы маховику в виде диска массой m=100 кг и радиусом R=0,4 м сообщить частоту вращения n=10 об/с, если он находится в состоянии покоя?

12. Обруч и диск имеют одинаковую массу и катятся без скольжения с одинаковой линейной скоростью. Кинетическая энергия обруча равна 39,2 Дж. Найти кинетическую энергию диска.

13. Медный шар радиусом R=10 см вращается со скоростью, соответствующей v=2 об/с, вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость вращения шара вдвое.

14. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 об. Работа сил торможения равна 44,4 Дж. Найти: 1) момент инерции вентилятора, 2) момент силы торможения.

15. Маховик вращается с постоянной скоростью, соответствующей =10 об/с; его кинетическая энергия Е_к = 800 Дж. За сколько времени вращающий момент сил М=50 Н∙м, приложенный к этому маховику, увеличит угловую скорость маховика в два раза?

16. Танк, масса которого 15 т и мощность 368 кВт, поднимается в гору с уклоном 30°. Какую максимальную скорость может развивать танк?

17. Найти линейные ускорения движения центров тяжести 1) шара, 2) диска и 3) обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости равен 30°, начальная скорость всех тел равна нулю. 4) Сравнить найденные ускорения с ускорением тела, соскальзывающего с этой наклонной плоскости при отсутствии трения.

18. Найти линейные скорости движения центров тяжести 1) шара, 2) диска и 3) обруча, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости 0,5 м, начальная скорость всех тел равна нулю. 4) Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего с этой наклонной плоскости при отсутствии трения.

19. Люстра массой 100 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой 5 м. Какова высота, на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась, если известно, что разрыв наступает при силе натяжения 2 кН?

20. Груз 1 массы m_, опускаясь вертикально вниз (рис.19), раскручивает ступенчатый блок 2 посредством невесомой и нерастяжимой нити, которая намотана на колесо блока радиуса r_. На большее колесо блока, имеющее радиус r_, намотана другая нить, второй конец которой привязан к грузу 3 массы m, скользящему по наклонной плоскости с коэффициентом трения скольжения f и углом наклона . Блок состоит из однородных дисков массами и соответственно, жестко соединенных друг с другом и имеющих общую ось вращения. Определить скорость груза 3 в зависимости от пройденного им расстояния и его ускорение, если движение начинается из состояния покоя.

Рис.19

21. Каток (рис.20) 1 массы m и радиуса r катится без скольжения под действием силы F по горизонтальной плоскости и поднимает груз 2 массы m_ при помощи невесомой нити, переброшенной через блок 3, который имеет такие же, как и каток, массу и радиус. Определить скорость груза 2 в зависимости от пройденного им расстояния и его ускорение, если коэффициент трения качения k, участок нити АВ горизонтален, а движение начинается из состояния покоя.

Рис.20

22. Груз 1, (рис.21) падая по вертикали, раскручивает ступенчатый блок 3 посредством невесомой и нерастяжимой нити, которая намотана на колесо блока радиуса r_. На меньшее колесо блока, имеющее радиус r_, намотана другая нить, второй конец которой привязан к оси цилиндрического катка, катящегося без скольжения. Масса груза m_, масса катка m_, коэффициент трения качения k, радиус катка r. Пренебрегая массой блока, определить скорость груза 1 в зависимости от пройденного им расстояния и его ускорение, если участок нити АВ горизонтален, а движение начинается из состояния покоя.

Рис.21

23. Кривошип ОА гипоциклического механизма (рис.22), расположенного в горизонтальной плоскости, вращался с постоянной угловой скоростью . В некоторый момент времени двигатель был отключен и под действием постоянного момента М_ сил сопротивления на оси сателлита (подвижной шестерни 1) механизм остановился. Определить угол поворота кривошипа до остановки, если его масса равна m_, масса сателлита m, r_ – его радиус, а r – радиус неподвижной шестерни 2. Кривошип принять за однородный тонкий стержень, сателлит – за однородный диск.

Рис.22

24. Блоки радиусами r_ и r_ (рис.23) жестко скреплены между собой и насажены на общую ось. Грузы 1 и 2 массами m₁ и m₂, разматывая нити, намотанные на блоки, приводят их во вращение. При вращении на блоки действует постоянный момент сил сопротивления М. Пренебрегая массой нитей и считая блоки однородными дисками массами М_ и М_ соответственно, определить скорость v_ груза 1 как функцию пройденного им расстояния и его ускорение, если движение начинается из состояния покоя.

Рис.23

25. Блоки радиусами r₁ и r₂ (рис.24) жестко скреплены между собой и насажены на общую ось. Грузы 1 и 2 массами m₁ и m₂, разматывая нити, намотанные на блоки, приводят их во вращение. При вращении на блоки действует момент сил сопротивления , где a – постоянная, а – угол поворота. Пренебрегая массой нитей и считая блоки однородными дисками массами М₁ и М₂ соответственно, определить угловую скорость и угловое ускорение блоков как функции угла поворота , а также момент времени, когда система под действием сил сопротивления остановится, если движение начинается из состояния покоя.

Рис.24

26. К грузам А и В (рис.25) массами m₁ и m₂ соответственно прикреплены нерастяжимые нити, вторые концы которых намотаны на однородные диски 1 и 2 массами и радиусами r_ и r_ (r_  r_). Диски жестко соеди­нены между собой и насажены на общую ось. Груз А, спускаясь по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту, раскручивает диски и поднимает груз В вверх по наклонной плоскости с углом . Определить скорость груза А в зависимости от пройденного им расстояния и его ускорение. Силами трения и массой нитей пренебречь.

Рис.25

27. Кривошип BА (рис.26) гипоциклического механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, вращался с постоянной угловой скоростью . В некоторый момент времени двигатель был отключен и под действием постоянных моментов М_В и М_А сил сопротивления на оси сателлита (подвижной шестерни 1) и на оси кривошипа механизм остановился. Определить угол поворота кривошипа до остановки, если его масса равна m₀, масса сателлита m, r₀ – его радиус, а r – радиус неподвижной шестерни 2. Кривошип принять за однородный тонкий стержень, сателлит – за однородный диск.

Рис.26

28. Зубчатые колеса 1 и 2 (рис.27), насаженные на неподвижные параллельные оси О_ и О_, имеют внутреннее зацепление. Колесо 1 является однородным диском и имеет радиус r_ и массу m_, а колесо 2 – радиус r_, а его масса m_ распределена по ободу равномерно. На колесо 2 намотана невесомая нить, к концу которой прикреплен опускающийся груз 3 массы m_. Пренебрегая трением и считая, что движение начинается из состояния покоя, определить угловую скорость колеса 2 в зависимости от его угла поворота, а также его угловое ускорение.

Рис.27

29. К грузам А и В массами m_ и m_ (рис.28) соответственно прикреплены нерастяжимые нити, вторые концы которых намотаны на однородные диски 1 и 2 массами и радиусами r_ и r_ (r_ > r_). Диски жестко соединены между собой и насажены на общую ось. Груз B, спускаясь по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту, раскручивает диски и поднимает груз A вверх по наклонной плоскости с углом . В блоке действует постоянный момент сил сопротивления М. Определить скорость груза В в зависимости от пройденного им расстояния и его ускорение. Силами трения и массой нитей пренебречь.

Рис.28

30. Зубчатые колеса 1 и 2 (рис.29), насаженные на неподвижные параллельные оси О₁ и О₂, имеют внутреннее зацепление. Колесо 1 радиуса r_ и массы m_, начальная угловая скорость которого равна нулю, приводится в движение вращающим моментом , где a – постоянная, а – угол поворота колеса 1. Масса m₂ колеса 2 распределена по ободу равномерно. Считая колесо 1 однородным диском и пренебрегая трением, определить его угловую скорость в зависимости от , а также его угловое ускорение.

Рис.29

31. Блоки радиусами r_ и r_ (рис.30) жестко скреплены между собой и насажены на общую ось. Груз 2 массы m_, разматывая намотанную на блок нить, приводит блоки во вращение и поднимает груз 1 массы m_. При вращении на блоки действует постоянный момент сил сопротивления М. Пренебрегая массой нитей и считая блоки однородными дисками массами М_ и М_ соответственно, определить скорость груза 2 v_ как функцию пройденного им расстояния и его ускорение, если движение начинается из состояния покоя.

Рис.30

32. Через блоки 1, 2 и 3 (рис.31) переброшена невесомая нерастяжимая нить, к одному концу которой прикреплен груз 4 массы m, а к другому приложена постоянная сила F. Масса каждого блока равна m_ и распределена по ободу равномерно. Считая, что груз 4 движется по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения f и движение начинается из состояния покоя, определить скорость груза в зависимости от пройденного им пути и его ускорение.

Рис.31

33. Блоки радиусами r_ и r_ (рис.32) жестко скреплены между собой и насажены на общую ось. Грузы 1 и 2 массами m_ и m_, разматывая нити, намотанные на блоки, приводят их во вращение. При вращении на блоки действует момент сил сопротивления , где a – постоянная, а – угол поворота. Пренебрегая массой нитей и считая блоки однородными дисками массами М_ и М_ соответственно, определить угловую скорость и угловое ускорение блоков как функции угла поворота , если движение начинается из состояния покоя.

Рис.32

34. Блоки радиусами r_ и r_ (рис.33) жестко скреплены между собой и насажены на общую ось. Груз 2 массы m_, разматывая намотанную на блок нить, приводит блоки во вращение и поднимает груз 1 массы m_. При вращении на блоки действует момент сил сопротивления , где a – постоянная, а – угол поворота. Пренебрегая массой нитей и считая блоки однородными дисками массами М_ и М_ соответственно, определить угловую скорость и угловое ускорение блоков как функции угла поворота , если движение начнется из состояния покоя.

Рис.33

35. Грузы 1 и 2 массами m_ и m_ (рис.34) соединены невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок 3 радиуса r и массы m. Груз 1, опускаясь вниз по гладкой наклонной плоскости, поднимает груз 2 вверх. Считая блок однородным диском и полагая, что при вращении блока возникает постоянный момент сил сопротивления М, определить скорость груза 2 в зависимости от пройденного им расстояния и его ускорение, если угол наклона плоскости к горизонту . Движение начинается из состояния покоя.

Рис.34

36. Груз 1 (рис.35), опускаясь по вертикали, посредством невесомой и нерастяжимой нити, переброшенной через блок 3 массы m₃, заставляет катиться без скольжения однородный цилиндрический каток 2, на который намотан второй конец нити. Масса груза m_, масса катка m_, коэффициент трения качения k, радиусы катка и блока r. Определить скорость груза 1 в зависимости от пройденного им расстояния и его ускорение, если участок нити АВ горизонтален, а движение начинается из состояния покоя.

Рис.35

37. На неподвижную горизонтальную ось О₁ (рис.36) насажено зубчатое колесо 1 радиуса r_ и массы m_, а на параллельную ей ось О₂ насажены жестко скрепленные между собой зубчатое колесо 2 таких же радиуса и массы и вал 3 радиуса r_ и массы m_. На вал намотана невесомая веревка, к концу которой прикреплен груз 4 массы m. Считая колеса 1 и 2 однородными дисками, а вал однородным цилиндром, определить скорость и ускорение груза 4, если он опустился вниз на расстояние h без начальной скорости.

Рис.36

38. На неподвижную горизонтальную ось О_ (рис.37) насажено зубчатое колесо 1 радиуса r_ и массы m_, а на параллельную ей ось О_ насажены жестко скрепленные между собой зубчатое колесо 2 радиуса r_ и массы m_ и гладкое колесо 3 радиуса r_ и массы m_. На колесо 3 намотана невесомая веревка, к концу которой прикреплен груз 4 массы m. Считая все колеса однородными дисками, определить скорость и ускорение груза 4, если он опустился вниз на расстояние h без начальной скорости.

Рис.37

39. К кривошипу ОА эпициклического механизма (рис.38), расположенного в горизонтальной плоскости, приложен вращающий момент М₀. На оси сателлита (подвижной шестерни 1) действует постоянный момент М₁ сил сопротивления. Считая кривошип тонким однородным стержнем массы m₀, а сателлит – однородным диском массы m₁ и радиуса r₁, определить угловую скорость кривошипа как функцию угла поворота и его угловое ускорение, если в начальный момент система находилась в покое, а радиус неподвижной шестерни 2 равен r₂.

Рис.38

40. Каток 1 (рис.39), который катится без скольжения вниз по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту, с помощью невесомой и нерастяжимой нити поднимает из состояния покоя груз 2 массы m_ вверх по наклонной плоскости с углом . Нить перекинута через блок 3. Считая каток 1 и блок 3 однородными дисками массы m и радиусом r каждый, определить скорость тела 2 в зависимости от пройденного им пути и его ускорение. Коэффициент трения скольжения f, трением качения пренебречь.

Рис.39

41. Грузы 1 и 2 (рис.40) массами m_ и m_ соединены невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок 3 радиуса r и массы m. Груз 2, опускаясь, поднимает груз 1 вверх по шероховатой наклонной плоскости. Считая блок однородным диском, определить скорость груза 2 в зависимости от пройденного им расстояния и его ускорение, если коэффициент трения скольжения f, а угол наклона плоскости к горизонту . Движение начинается из состояния покоя.

Рис.40

42. Груз 1 массы m_ (рис.41), опускаясь вертикально вниз, раскручивает ступенчатый блок 2 посредством невесомой и нерастяжимой нити, которая намотана на колесо блока радиуса r_. На большее колесо блока, имеющее радиус r_, намотана другая нить, второй конец которой привязан к грузу 3 массы m, скользящему по наклонной плоскости с коэффициентом трения скольжения, равным f, и углом наклона . Блок состоит из однородных дисков массами и соответственно, жестко соединенных друг с другом и имеющих общую ось вращения. Определить скорость груза 3 в зависимости от пройденного им расстояния и его ускорение, если движение начинается из состояния покоя.

Рис.41

43. Груз 1 (рис.42) массы m_, спускаясь по наклонной плоскости с углом наклона к горизонту, с помощью невесомой и нерастяжимой нити поднимает из состояния покоя каток 2, который катится без скольжения по наклонной плоскости с углом . Нить перекинута через блок 3. Считая каток 2 и блок 3 однородными дисками массы m и радиуса r каждый, определить скорость тела 1 в зависимости от пройденного им пути и его ускорение. Коэффициент трения скольжения f, трением качения пренебречь.

Рис.42

44. Нить (рис.43), один конец которой закреплен неподвижно, огибает подвижный блок 1 (масса m, радиус r, момент инерции относительно центра масс J) и неподвижный блок 2 с тем же радиусом и моментом инерции J_. На другом конце нити подвешен груз 3 массы m₀. Считая свободные участки нити вертикальными, определить скорость и ускорение груза 3, если он опустился вниз на расстояние h без начальной скорости.

Рис.43

45. Груз 1 (рис.44) массы m движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F, направленной под углом к горизонту, и при помощи нити вращает ступенчатый блок 2, представляющий собой два однородных диска, жестко соединенных друг с другом и имеющих общую ось вращения. На больший диск, имеющий радиус r_ и массу m₁, намотана нить от груза 1, а на меньший, имеющий радиус r_ и массу m_, намотана другая нить, ко второму концу которой прикреплен груз 3 массы m_. Определить скорость груза 1 в зависимости от пройденного им расстояния и его ускорение, если коэффициент трения скольжения равен f, участок нити АВ горизонтален, а движение начинается из состояния покоя.

Рис.44

46. Кривошип ВА гипоциклического механизма (рис.45), расположенного в горизонтальной плоскости, вращается из состояния покоя под действием постоянного момента М и приводит в движение сателлит (подвижную шестерню 1). Считая кривошип тонким однородным стержнем массы m₀, а сателлит – однородным диском массы m₁ и радиуса r₁, определить угловую скорость кривошипа как функцию угла поворота и его угловое ускорение. Радиус неподвижной шестерни 2 равен r₂.

Рис.45

47. К кривошипу ОА эпициклического механизма (рис.46), расположенного в горизонтальной плоскости, приложен вращающий момент , где М₀ и α – положительные постоянные, а – угловая скорость кривошипа. Считая кривошип тонким однородным стержнем массы m₀, а сателлит (подвижную шестерню 1) – однородным диском массы m₁ и радиуса r₁, определить угловую скорость кривошипа как функцию угла поворота и его угловое ускорение, если в начальный момент система находилась в покое, а радиус неподвижной шестерни 2 равен r₂.

Рис.46

48. Груз 1 (рис.47) массы m_, опускаясь по вертикали, раскручивает ступенчатый блок 2 посредством невесомой и нерастяжимой нити, которая намотана на колесо блока радиуса r_. На меньшее колесо блока, имеющее радиус r_, намотана другая нить, второй конец которой привязан к грузу 3 массы m₃, скользящему по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения скольжения, равным f. Блок состоит из однородных дисков массами и соответственно, жестко соединенных друг с другом и имеющих общую ось вращения. При вращении блока на него действует постоянный момент сил сопротивления М. Определить скорость груза 3 в зависимости от пройденного им расстояния и его ускорение, если движение начинается из состояния покоя.

Рис.47

49. К барабану 1 (рис.48) ворота радиуса r₁ и массы m₁ приложен вращающий момент , где a – постоянная, – угол поворота. При вращении барабана по наклонной плоскости с углом при помощи намотанного на барабан невесомого троса из состояния покоя поднимается груз 2 массы m. Считая, что коэффициент трения скольжения равен f, определить угловую скорость вращения барабана и ускорение груза 2 в зависимости от угла .

Рис.48

Пример 13. Доска веса P положена на два катка веса Q каждый. На доску действует постоянная сила F, составляющая с горизонтом угол (рис.49). Катки являются однородными дисками, а проскальзывания катков с доской и с горизонтальной плоскостью нет. В начальный момент времени система покоились. Определить ускорение доски.

Рис.49

Решение. Исследуемой механической системой в данной задаче является доска вместе с катками. Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии: . В качестве W_k2 и W_k1 возьмем значения кинетической энергии системы в произвольный момент времени T₂=T(t) и в начальный момент времени T₁=T(t). По условию задачи в начальный момент времени система покоилась, поэтому T(0)=0. Кинетическая энергия в момент времени t складывается из кинетической энергии доски W_kd и двух катков 2W_kk: W_k(t)= W_kd+2 W_kk. Так как доска движется поступательно, то W_kd=PV²/2g. Каждый из катков совершает плоское движение, поэтому, согласно теореме Кенига,

где V_c – скорость оси катка, – угловая скорость его вращения, а I_c – момент инерции катка относительно его оси. Так как каток является однородным диском, то I_c=Qr²/2g, где r – радиус катка. Учитывая теперь условие отсутствия проскальзывания катков с доской и с плоскостью, выпишем кинематические соотношения, связывающие V, V_c и : V = 2V_c, . Следовательно, , и тогда W_k(t)=(8P+3Q)V²/16g.

Вычислим теперь работу всех внешних и внутренних сил за интервал времени от 0 до t. Так как система состоит из абсолютно твердых тел и при этом проскальзывание между доской и катками отсутствует, то сумма работ всех внутренних сил . Внешними силами, действующими на систему, являются силы тяжести доски P и катков Q, постоянная сила F, нормальные реакции плоскости N₁ и N₂ и силы трения между катками и плоскостью F₁ и F₂, приложенные в точках контакта K₁ и K₂ катков (см. рис. 49). Из всех сил работу совершает только сила F, т.е. , где S – перемещение доски за время . Действительно, силы тяжести работу не совершают, так как перемещения точек приложения этих сил перпендикулярны их направлениям. Нормальные же реакции N₁, N₂ и силы трения F₁, F₂ работу не совершают, так как они приложены к мгновенным центрам скоростей K₁ и K₂ катков (в силу отсутствия проскальзывания между катками и плоскостью). Поэтому элементарные перемещения этих точек равны нулю , тем самым равна нулю и элементарная работа указанных сил. Следовательно, равна нулю и суммарная их работа за время от 0 до .

Таким образом, теорема об изменении кинетической энергии в данном случае имеет вид

Для определения ускорения доски a продифференцируем равенство (1) по времени

Учитывая теперь, что и сокращая последнее равенство на общий множитель V, окончательно получаем