Необходимый для повторения теоретический материал по теме: "Определители второго, третьего и высших порядков. Их свойства и методы вычисления"

Определителем (детерминантом) -го порядка квадратной матрицы называется сумма слагаемых, каждое из которых равно где - произведение элементов матрицы , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, а - число инверсий в перестановке, составленных из номеров столбцов.

Определитель 2-го порядка находится по определению:

.

Пример. Вычислить .

Решение. .

Определитель 3-го порядка можно найти с помощью мнемонических правил.

Пример. Вычислить .

Решение.

1) .

2) .

Минором элемента называется определитель матрицы порядка, полученный вычёркиванием -ой строки -го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется .

Теорема разложения Лапласа:

Детерминант квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример. Вычислить .

Решение. .

Свойства определителей n-го порядка:

1) Величина определителя не изменится, если строки и столбца поменять местами.

2) Если определитель содержит строку (столбец) из одних нулей, то он равен нулю.

3) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

4) Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

5) Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

6) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых все строки (столбцы), кроме упомянутой, такие же, как и в данном определителе, а в упомянутой строке (столбце) первого определителя стоят первые слагаемые, второго – вторые.

7) Если в определителе две строки (столбца) пропорциональны, то он равен нулю.

8) Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

9) Определители треугольных и диагональных матриц равны произведению элементов главной диагонали.

Метод накопления нулей вычисления определителей основан на свойствах определителей.

Пример. Вычислить .

Решение. Вычтем из первой строки удвоенную третью, далее используем теорему разложения по первому столбцу.

~ .

Контрольные вопросы (ОК-1, ОК-20, ОК-22):

1. Что называется определителем второго порядка?

2. Какие основные свойства определителей?

3. Что называется минором элемента?

4. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?

5. Как разложить определитель третьего порядка по элементам какой-либо строки (столбца)?

6. Чему равна сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца), определителя по алгебраическим дополнениям соответствующих элементов другой строки (или столбца)?

7. В чём заключается правило треугольников?

8. Как вычисляются определители высших порядков способом понижения порядка

9. Что такое прямоугольная матрица?

10. Какая матрица называется квадратной? Нулевой? Что такое матрица-строка, матрица-столбец?

11. Какие матрицы называются равными?

12. Дать определения операций сложения, умножения матриц, умно­жения матрицы на число

13. Каким условиям должны удовлетворять размеры матриц при сло­жении, умножении?

14. В чём заключаются свойства алгебраических операций: коммута­тивность, ассоциативность, дистрибутивность? Какие из них выпол­няются для матриц при сложении, умножении, а какие нет?

15. Что такое обратная матрица? Для каких матриц она определена?

16. Сформулировать теорему о существовании и единственности обратной матрицы.

17. Сформулировать лемму о транспонировании произведения мат­риц.

Практические задания общие (ОК-1, ОК-20, ОК-22):

№1. Найти сумму и разность матриц А и В:

а)

б)

в)

№2. Выполните указанные действия:

а) С=2А+3В

б) D=А-3С

в) Z= -11А+7В-4С+D

если

№3. Выполните указанные действия:

а)

б)

в)

№4. При помощи применения четырех способов вычисления определителя квадратной матрица, найти определители следующих матриц:

а)

в)

№5. Найти определителей n-ого порядка, по элементам столбца (строки):

а) б)

№6. Найти определитель матрицы, используя свойства определителей:

а) б)

Задания для работы в парах (ОК-1, ОК-20, ОК-22):

№1. Проверьте справедливость формулы (АВ)С=А(ВС), для матриц:

.

№2. Проверьте справедливость формулы А(В+С)=АВ+АС, для матриц:

.

№3. Проверьте справедливость формулы , для матриц:

.

№4. Проверьте справедливость формулы , для матриц:

.

№5. Вычислить определитель матрицы любым из четырех предложенных способов:

.

.

№6. Найдите определители, используя известные вам способы:

а) б)

Тесты для работы в парах по теме «Матрицы и определители» (ОК-1, ОК-20, ОК-22):

1. Дана матрица . Отметьте верные высказывания об этой матрице:

это матрица размера ;

это квадратная матрица;

это матрица размера ;

;

.

2. Дана матрица . Отметьте верные высказывания:

это квадратная матрица третьего порядка;

это единичная матрица;

элементы образуют главную диагональ матрицы;

это матрица размера ;

все элементы матрицы, находящиеся вне главной диагонали

равны нулю.

3. Пусть Е – единичная матрица порядка 4. Отметьте верные высказывания:

в матрице Е 16 элементов;

в матрице Е 12 нулевых элементов;

после транспонирования матрицы Е все ее нулевые элементы

заменяются единицами;

транспонирование не изменяет матрицу Е;

Е+Е = Е.

4. Пусть А – произвольная матрица 3-го порядка, Е – единичная матрица того же порядка. Отметьте верные равенства:

;

;

;

;

.

5. Отметьте верные утверждения:

операция сложения выполняется только над матрицами одинакового размера;

операция транспонирования сохраняет размер любой матрицы;

квадратные матрицы произвольных порядков согласованы;

чтобы умножить матрицу на скаляр, надо каждый элемент матрицы умножить на этот скаляр;

при умножении матрицы размера на матрицу размера получается матрица размера .

6. Укажите такие операции, которые нельзя выполнять над квадратными матрицами порядка 4:

вычитать;

складывать;

умножать друг на друга;

делить на число, отличное от нуля;

делить друг на друга.

7. Равенство выполняется

для всех единичных матриц произвольного порядка;

только для единичных матриц произвольного порядка;

для всех квадратных матриц;

только для квадратных матриц;

для произвольной матрицы А.

8. Равенство А+В = В+А выполняется

для произвольных матриц А, В одинакового размера;

для квадратных матриц одинакового порядка;

только для квадратных матриц одинакового порядка;

только, если одна из квадратных матриц А или В является единичной матрицей;

только, если обе матрицы являются единичными матрицами одинакового порядка.