Задачи.

1. Д оказать равносильности:

а) А  В  А&В; б) А(В&В)А; в) А&В А  В; г) (АВ)С  А(ВС); д) А(ВС)В (АС)

е) А&ВС А(ВС); ж) А(В&С)  (АВ)& (АС); з) А&(ВС)( А&В)(А&C);

и) А(ВС) (АВ)С.

2. Доказать тавтологии:

а) (АС)& (ВС) (АВС);

б) (АВ)& (ВС) (АВ&С);

в) (АВ)& (ВС) (АС);

г) (АВ)(( А(ВС)) (АС));

д) (АВ)(( А&C) (В&С));

е) (АВ) (ВА);

ж) (АВ)&ВА;

з) (АВ)(ВА);

и) (АВ)&(АВ) А;

к) (АВ)  (АВ).

3. Для каждой из ниже следующих теорем сформулировать теоремы: обратную, противоположную, противоположную обратной и эквиваленцию. Установить какие из теорем верны.

а) в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;

б) если сумма цифр целого числа делится на 9, то и само число делится на 9;

в) если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре;

г) диагонали равнобедренной трапеции равны;

д) параллелограмм имеет центр симметрии;

е) если а = с и в = d, то уравнение ах + в = сх + d имеет бесконечно много решений;

ж) если с = 0, то один из корней квадратного уравнения ах² + вх + с равен 0;

з) в треугольник можно вписать окружность;

и) если произведение двух целых чисел есть число нечётное, то их сумма – число нечётное;

к) диагонали ромба перпендикулярны;

л) если функция f возрастает на интервале (а,в), то существует обратная к ней функция;

м) через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность;

н) если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой;

о) если оба числа а и в делятся на с, то и их сумма а + в делится на с;

п) если в четырёхугольник можно вписать окружность, то этот четырёхугольник – ромб;

р) если число оканчивается на0 или 5, то оно делится на 5;

с) площади подобных многоугольников относятся, как квадраты сходственных сторон;

т) в четырёхугольнике сумма углов равна 360⁰.

4. Предикаты Р(х) и Т(х) заданы на естественной области определения. Найти и изобразить на числовой прямой области истинности предикатов: Р(х); Т(х); Р(х); Р(х)&Т(х); Р(х)Т(х); Р(х)Т(х); выяснить истинны или ложны высказывания: х (Р(х)), х (Т(х)), х (Р(х)), х (Т(х)), х (Р(х)Т(х)), х (Р(х)Т(х)), х (Р(х)&Т(х)),х (Р(х)&Т(х)), если:

а ) Р(х): (х +2 > х), Т(х):х² = |x|;

б) Р(х): (х⁴ –10х² + 9=0), Т(х): (х² < 0);

в) Р(х): (|x + 1| > 3), T(x): (х² + 2х + 1 = (х + 1)²);

г ) Р(х): (-х² + 5х + 14 > 0), Т(х): (х²+1 < 0);

д) Р(х): ( |x| =x), Т(х): ( > 1).

5. Предикаты Р(х,у) и Т(х,у) заданы на естественной области их определения. Изобразить на плоскости ХОУ области истинности предикатов Р, Т, Р&Т, РТ, РТ. Выяснить: истинны или ложны высказывания: ху(Р(х,у)), ху(Р(х,у)), ху(Р(х,у)), х у(Р(х,у)), тоже с предикатом Т.

а) Р: (у = х²), Т: (у>2х+1); б) Р: (х² – у²0), Т: (х² + у²  9); в) Р: (у  х²), Т: (х² + у² 4);

г) Р: (ху 4); Т: (|x| >2); д) Р: (у  х³), Т: (у<х²); е) Р: (ху  0), Т: (х² + у²  16).

6. Записать формулой логики предикатов следующие утверждения, построить их отрицания и выяснить истинны ли записанные высказывания:

а) ни одно простое число не является точным квадратом;

б) все простые числа больше 1;

в) некоторые действительные числа являются рациональными;

г) все простые числа, большие 2, нечётные;

д) некоторые простые числа – чётные;

е) для любого целого числа найдётся такое целое число, что их сумма равна 0;

ж) существует чётное число , не делящееся на 4 и делящееся на 3;

з) существует параллелограмм не имеющий осей симметриии;

и) все числа, делящиеся на 30 , делятся на 2, 3. и 5.

7. Применяя логическую символику, записать в виде формул следующие определения:

а) прямоугольник;

б) нечётная функция;

в) выпуклая фигура;

д) средняя линия трапеции;

е) точка минимума;

ж) ромб;

з) точка максимума;

и) корень n-ой степени из числа а;

к) периодическая функция;

л) составное число;

м) простое число.

12