Упражнения.

1. а) луна есть спутник Марса;

б) как много у тебя хороших книг!

в) Земля – планета;

г) ученик 11 класса;

д) АВС  А₁В₁С₁ ;

е) 4 + 27 – 45;

ж) а > 0.

Определить, какие из этих предложений являются высказываниями.

2. Следующие высказывания записать в виде формул, заменив простые высказывания буквами:

а) если 80 не делится на 3 и делится на 2, то 80 не делится на 6;

б) произведение трёх чисел равно 0 т. и т. т. , к. хотя бы одно из них равно 0;

в) число х₀ является решением системы уравнений т. и т. т. , к. оно является решением каждого уравнения системы;

г) если в треугольнике какая-то медиана не является высотой или биссектрисой, то этот треугольник не равнобедренный и не равносторонний;

д) 3 есть простое число, а 21 является составным числом;

е) если натуральное число является простым, то оно равно 2 или нечётно;

ж) если последовательность имеет конечный предел, то она сходится.

Определить какие значения имеют эти высказывания.

3. Доказать равносильности:

а ) А  В А В; б) А  В А &В; в) А  В  (А  В ) & (В  А );

г) (А  В) (А &В)(А & В); д) А  В В А; е) А  В  В А.

4. Для каждой из данных теорем сформулировать теоремы: прямую, обратную, противоположную, обратную противоположной, определить какие из теорем истинны.

а) если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны;

б) сумма углов треугольника равна 180⁰;

в) середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии;

г) если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то такой четырёхугольник – параллелограмм;

д) в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы;

е) диагонали прямоугольника равны;

ж) в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

5. Пользуясь теоремой Гаубера, доказать, что верны теоремы, обратные к следующим:

   1. пусть а,в,сR. Тогда при с > 0: а) если а > в, то ас > вс; б) если а = в, то ас = вс; в) если а < в, то ас < вс;

   2. пусть а,в,с – длины сторон АВС; тогда: а) если А < B, to a < в; б) если А = B,

то а = в; в) если А > B, то а > в;

3. пусть а,в,с – длины сторон АВС; тогда: а) если а² + в²< с² , то С – тупой;

б) если а² + в²=с² , то С – прямой; в) если а² + в²>с² , то С – острый.

6. Выяснить, какие из ниже следующих предложений можно рассматривать как предикаты при определённом выборе его ОО:

а) х² – 2х – 15 = 0; б) при х = 5 выполняется равенство х² – 2х – 15 = 0; в) х³ + у; г) существует число х , для которого выполняется равенство х² – 2х – 15 = 0; д) точки А и В лежат по разные стороны от прямой а е) если х > 3 , то х² > 9; ж) целое число х при делении на у даёт остаток z; з) 5 – 3 = 2; и) Х – истинно; к) площадь фигуры Х равна у.

7. Даны предикаты на множестве N: Р(х) – (число х делится на 2); Q(x) – (x –число нечётное); R(x,y) – (х делится на у); S(x) – (число х – составное). Записать словами высказывания и выяснить, какие из них истинны, а какие ложны: Р(3); Р(6)&S(2); P(5)Q(5); R(10,2); R(2,10); x(P(x)R(x,6)); x(P(x)&y(R(x,y)P(x))); x(Q(x)y(P(y)(R(x,y))).

7. Д аны предикаты на множестве М = {1,2,3, … ,12}: H(x) – (x делится на 3); Р(х) – (х делится на 9); записать словами следующие предикаты и найти их области истинности:

а) Р(х)&Н(х); б) Р(х)Н(х); в) Н(х)Р(х); г) Р(х)Н(х); д) Н(х)Р(х); е)Н(х) Р(х);

8. Изобразить на числовой прямой ОИ следующих предикатов: Р(х); Т(х); Р(х)Т(х); Р(х)&Т(х); Р(х)Т(х); где а) Р(х) – (х + 2< 3); Т(х) – (х² + х – 2 < 0); б) Р(х) – (х² – 6х  -9); Т(х) – (11-1/х <1).

7. Изобразить на плоскости ХОУ ОИ предикатов, определённых на R:

а) х² + у² 4; б) ху 4 ; в) х² - у² =4; г) у  х²; д)х = -у ; е) (х² –4)² + (у² – 9)² = 0;

х² + у²<9

7. Изобразить на плоскости ХОУ ОИ предикатов Р(х,у); Q(x,y); Р(х,у)& Q(x,y); Р(х,у) Q(x,y); Р(х,у) Q(x,y); Р(х,у) Q(x,y); где

а) Р(х,у): (х² - у² = 0); Q(x,y): (х² + у²<9); б) Р(х,у): (х² < у); Q(x,y): (y – x = 3);

в) Р(х,у): (у2^х); Q(x,y): (y > 1/x ).

7. Записать предикат (и его отрицание), определяющий следующее понятие:

а) равенство множеств; б) окружность; в) рациональное число; г) параллелограмм; д) log_ab;

е) равносильность уравнений; ж) равнобочная трапеция.

7. Записать формулой логики предикатов следующие предложения (построить их отрицания):

а) существует равнобедренный прямоугольный треугольник; б) существует натуральное число которое делится на 2, 3, 5; в) имеется только одно действительное число, квадрат которого равен нулю; г) для любого действительного числа есть ему противоположное; д) для всякого рационального числа, отличного от 0 , есть ему обратное; е) если произведение двух натуральных чисел делится на простое число, то на него делится по крайней мере один из сомножителей; ж) если целое число больше 1, то оно простое или составное.