1. Символ х(Р(х)) обозначает высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда для любого элемента аМ Р(а)  И, т.е. ОИ_р = М.

2. Символ х(р(х) обозначает высказывание истинное т. И т. Т. , к. Хотя бы для одного элемента ам р(а)  и, т.Е. , когда оир  .

Символы  и  называются квантором всеобщности и квантором существования соответственно. В первом случае говорят, что предметная переменная х связана квантором всеобщности, во втором – квантором существования.

Примеры 1. х ( х – простое число & хN )  Л, т.к. ,например, 4 – не является простым числом, однако 4N. х (х – простое число & хN)  И, т.к., например, 3 – простое число и 3N.

Замечание. Для краткости выше приведённые высказывания можно записывать так: хN(х – простое число) ; х N(х – простое число).

2. хN ( х²  0 )  И и х N (х²  0 )  И.

Связывая высказывания и предикаты операциями алгебры высказываний, будем получать формулы логики предикатов: А  Р(х), В & Q(x,y), х N(Р(х)  Q(x,y)) и т.д. аналогично тому, как это сделано в алгебре высказываний, можно ввести понятие равносильных формул.

Все равносильности, имеющие место в алгебре высказываний, переносятся и на логику предикатов. Кроме равносильностей алгебры высказываний, в логике предикатов есть равносильности. Связанные с кванторами.

Т еорема. 1. х(Р(х) )  х(Т(х) )  х ( Р(х)Т(х) ); х(Р(х)) & х(Т(х))  х(Р(х) & T(x) ).

2 . х(Р(х))  х(Р(х) ) ; х(Р(х)  х ( Р(х) ).

Доказательство. Докажем, например, равносильность 2. Пусть х(Р(х))  И. Тогда х(Р(х))  Л. Следовательно, для любого хМ (где М – ОО_Р) Р(х) –ложное высказывание. А поэтому Р(х) ­– истинное высказывание. Но тогда, по определению квантора , х(Р(х) ) – истинно.

П усть теперь х(Р(х))  Л. Тогда х(Р(х))  И, следовательно, существует хотя бы один элемент аМ такой, что Р(а) И, а поэтому Р(а)  Л, но тогда х(Р(х))  Л. Т.о., формула 2 справедлива.

Иногда употребляется высказывание !х(Р(х)) , которое читается: «существует единственный х такой, что Р(х)» и истинное т. и т. т. , к. есть только один элемент аМ такой, что Р(а)И.

Используя эти равносильности, легко строить отрицания условий, содержащихся, например, в определениях. Пример:¬(хN yN ( x = 2y))  хN yN (x  2y ).

Определение ограниченной функции: Функция f называется ограниченной на множестве Х, если выполняется условие: аR⁺(xX(x a )) . Тогда условием неограниченности функции f на множестве Х является отрицание предыдущего условия: (аR⁺(xX(x a )), которое согласно теореме примет вид: аR⁺(хX(x> а). Аналогично строятся отрицания любых других формул с кванторами.

Можно сформулировать следующее правило для построения отрицаний формул логики предикатов, состоящее из трёх пунктов:

1. В формуле, отрицание которой мы строим, исключаются операции , , !, используя равносильности:

А  В А В ; А  В (А  В )&(В  А ) ; !х(Р(х)  х(Р(х) & у( Р(у)  х=у).

2. Каждую из операций &, , ,  заменим на двойственные: соответственно , &, , .

3. Применим операцию отрицания к предикату, стоящему в скобках после кванторной приставки.

Если имеется необходимость, полученную формулу преобразуем равносильным образом к удобному для чтения виду. Для многих случаев удобна следующая формулировка правила, хорошо выражающая его сущность: Чтобы получить отрицание данного утверждения, надо в его символической записи каждый квантор заменить на двойственный, а предикат заменить на противоположный.