Предикаты. Кванторы. Формулы логики предикатов. Равносильность формул.

Пусть М – некоторое множество. Если х принимает значения из М. То будем называть х предметной переменной, а множество М – областью определения переменной х. Если а – фиксированный элемент из М, то будем называть его предметной постоянной.

Определение. Одноместным предикатом Р(х), определённым на множестве М (двуместным предикатом Р(х,у), определённом на множествах М и Т) называется всякое предложение с предметной переменной х (переменными х и у), которое превращается в высказывание каждый раз когда переменная х (переменные х,у) заменяется фиксированным элементом (фиксированными элементами) из множества М (соответственно: из множеств М и Т, если при этом М = Т, то говорят, что предикат Р(х,у) определён на множестве М).

Аналогично можно дать определение трёхместного, четырёхместного и т. д. предикатов. Итак, предикат это не высказывание, это предложение (или, как ещё его называют – высказывательная форма) в котором есть пустые места обозначенные буквой х (буквами х,у) и лишь после подстановки вместо них элементов из М ( из М и Т) они превращаются в высказывания, которое является либо истинным, либо ложным, т. е. значение Р(а) предиката Р(х) при х = а является высказыванием. Итак, предикат при любом наборе значений входящих в него предметных переменных может принять только одно из двух значений: либо И либо Л.

Примеры. 1. Р(х): «х – простое число» - олноместный предикат, определённый на N.

Р(1)  « 1 – простое число»  Л; Р(2)  « 2 – простое число»  И; Р(4)  « 4 – простое число»  Л.

2. Q(х,y,z): «прямая х проходит через точки y и z» - трёхместный предикат, определённый на множествах П и М (П – множество прямых плоскости, М – множество точек плоскости; хП; у,zМ).

3. S(x,y): (х² + у² = 1) – двуместный предикат, определённый на R. S(1,0)  S(0,1)  ( 1² + 0² =1)  ( 0²+1² )  И; S(0,0)  ( 0² + 0² = 0 )  Л.

Некоторые часто встречающиеся предикаты имеют специальные обозначения. Например, «х меньше у»: х < y; « х является элементом множества R»: х  R и т. д.

Определение. Пусть Р(х) – предикат, определённый на множестве М. Областью истинности предиката Р называется множество тех значений х, при которых предикат Р принимает значение И и обозначается ОИ_р.

О И_р= {a / Р(а)  И}. Аналогично определяется ОИ_р для n-местных предикатов. Если Р(х) определён на R, то область истинности этого предиката удобно изображать на числовой прямой. Если же Р(х,у) определён на R – на координатной плоскости ХОУ.

П римеры. 1. Р(х): ( < 1); ОИ_р= (-1,1): _{-1 О 1 Х}

2. Q (x,y): (x² + y²  4); ОИ_Q - круг с центром в точке О радиуса 2 :

У

2 Х

Так как предикаты принимают значения И и Л, то к ним применимы все логические операции алгебры высказываний. Если Р и Т предикаты, то Р&Т, РТ, РТ, РТ,Р - тоже являются предикатами.

Теорема. Пусть Р и Т – предикаты, определённые на одном и том же множестве М. Тогда

ОИ _Р&Т = ОИ_Р ОИ_Т; ОИ_РТ = ОИ_Р ОИ_Т; ОИ_Р = ОИ_Р ; ОИ_РТ = ОИ_Р ОИ_Т .

Доказательство. Докажем, например, первое равенство. Пусть аОИ_Р&T , тогда Р(а)&Т(а)И по определению, следовательно, Р(а)И и Т(а)И. Следовательно, аОИ_Р и аОИ_Т, но тогда аОИ_Р ОИ_Т.

Обратно: пусть аОИ_Р ОИ_Т . Тогда аОИ_Р и аОИ_Т , поэтому Р(а)И и Т(а)И; следовательно Р(а)&Т(а)И , т. е. аОИ_Р&T . Отсюда ОИ_Р&T = ОИ_Р ОИ_Т .

Определение. Предикаты Р и Т, имеющие одинаковые области определения, называются равносильными, если ОИ_Р = ОИ_Т. Обозначение: Р(х)  Т(х). Предикат Т называется следствием предиката Р, если ОИ_Р  ОИ_Т.

Пример. Предикат ( х² > 5) равносилен предикату (х> 5). Т.е. х² > 5  х> 5.

Замечания. В школьной математике постоянно приходится иметь дело с различными предикатами. К ним относятся, например, уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, совокупности уравнений и неравенств и т. д. При этом школьная символика несколько отличается от выше приведённой. Вместо знака конъюнкции & употребляется фигурная скобка { , вместо знака дизъюнкции  - квадратная скобка [ , вместо знака равносильности  - знак эквиваленции  (что в общем то понятно, подумайте – почему?). Область истинности предиката (представленного уравнением, неравенством, системой уравнений и неравенств или совокупностью уравнений и неравенств) есть ни что иное, как множество решений соответствующего уравнения, неравенства и т.д.

Пример 1. Вместо (х + 2у = 3)&(2х – у = 1)  (х = 3 – 2у)&(6 – 5у = 1)  (х = 1)&(у = 1) в школе пишут :

х +2у = 3 х = 3 – 2у х = 1 2. Вместо (х² – 2х –3  0)  (х > 4 ) 

2х – у = 1 6 – 5у = 1 у = 1. (х[-1, 3] ) (x(-,-4)(4 ,+) )  (х[-1, 3]  (-,-4)(4 ,+) пишут

х² – 2х – 3  0  х [-1 , 3]  х[-1, 3]  (-,-4)(4 ,+) .

х > 4 x(-,-4)(4 ,+)

Введём кванторные операции над предикататами.

Определение. Пусть предикат Р(х) определён на множестве М.