Законы логики. Виды теорем. Методы математических доказательств.

Определение. Формула алгебры высказываний называется тавтологией или законом логики, если она при любом наборе значений входящих в неё переменных принимает значение И.

Используя таблицы истинности легко проверить, что А А, А(ВА), АА являются тавтологиями.

Теорема. Если  и  - тавтологии, то и  - тавтология.

Доказательство. Допустим, что  - не тавтология. Тогда хотя бы при одном наборе значений переменных, входящих в  и , формула  принимает значение Л. Т. к.  - тавтология, то она при этом наборе значений переменных принимает значение И и значит  - имеет значение Л (поскольку по предположению  - принимает значение Л), но это противоречит условию теоремы:  - тавтология. Следовательно, предположение неверно и  - тавтология.

Теорема. Пусть (Х₁,…,Х_n) – тавтология, содержащая переменные высказывания Х₁,…,Х_n; (₁,…, _n) – формула, полученная из (Х_1,…,Х_n) одновременной подстановкой формул ₁,…, _n вместо Х_1,…,Х_n соответственно. Тогда (₁,…, _n) – тавтология (подстановка в тавтологию даёт тавтологию).

Доказательство. Возьмём произвольный набор значений всех переменных, входящих в (₁,…, _n). При этом формулы ₁,…,_n примут какие-то значения ₁,…,_n, где каждое _i - либо И, либо Л. Но тогда при том же наборе формула (₁,…, _n) примет значение (₁,…,_n)  И, так как по условию (Х₁,…,Х_n) – тавтология. Следовательно, формула (₁,…, _n) – тавтология. Здесь мы не доказываем тот интуитивно ясный факт, что (₁,…, _n) – формула.

Теорема. Следующие формулы являются тавтологиями (ниже , ,  - произвольные формулы):

1.   - закон исключения третьего;

2.    - закон двойного отрицания;

3. &() - закон заключения;

4.  &() - закон противоречия;

5. ()( ) - закон контрапозиции;

6. ()&( ) - закон доказательства от противного;

7. ()&()() - закон силлогизма;

8. ()&()() - закон сложения посылок;

7. ()&()() - закон транзитивности эквиваленций.

Доказательство. Докажем, например, что формула 5 – закон логики. Если А и В – переменные высказывания, то, составив таблицу истинности, легко убедиться, что формула (АВ)(АВ) является тавтологией. Подставляя в неё одновременно вместо А и В соответственно произвольные формулы  и , получаем формулу ()( ) , которая есть тавтология по предыдущей теореме.

Аналогично доказывается, что и все остальные формулы являются тавтологиями. В основу каждой математической теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории. Все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом и называются теоремами теории. Чаще всего теоремы формулируются в виде импликации , при этом  называется условием (или посылкой) теоремы, а  - заключением теоремы. Рассмотрим импликации:

   - прямая теорема;

   - обратная теорема;

   - противоположная теорема;

  - противоположная обратной теорема.

Строго говоря, пока не установлено истинна или нет какая-то из этих импликаций, нельзя говорить о том, что она является теоремой, так как теорема – истинное утверждение по определению.

Теорема. Прямая теорема верна тогда и только тогда, когда верна теорема, противоположная обратной. Обратная теорема верна тогда и только тогда, когда верна противоположная теорема.

Доказательство. 1). Пусть теорема    истинна. Тогда по закону контрапозиции и по теореме 3, теорема   тоже истинна. Обратно, если истинна теорема  , то по тому же закону и по теореме 3 истинна теорема () (), которая равносильна    по теореме 2 ( 7) и 7)`) и замечанию к теореме 2.

2). Доказательство второго утверждения осуществляется аналогично.

Примеры. 1. Прямая теорема: (n делится на 6)(n делится на 3) - верна.

2. Обратная теорема: (n делится на 3)  (n делится на 6) - неверна.

3. Противоположная теорема: ( n не делится на 6)  (n не делится на 3) - неверна.

4. Теорема, противоположная обратной: (n не делится на 3)  : ( n не делится на 6) – верна.

Этот пример показывает, в частности, что из справедливости прямой теоремы не вытекает, вообще говоря, справедливость обратной.

4. Теорема Пифагора: «Если треугольник – прямоугольный, то квалрат одной из его сторон равен сумме квадратов двух других сторон» - верна.

5. Теорема, обратная к теореме Пифагора: «Если квадрат какой-нибудь стороны треугольника равен сумме квадратов других сторон, то этот треугольник – прямоугольный» - верна.

При доказательстве серии обратных теорем бывает полезна теорема Гаубера:

Теорема(Гаубера). Пусть верны теоремы

₁₁; ₂₂; … ; _n_n;

условия которых ₁, ₂, …, _n исчерпывают все возможные случаи (истинна дизъюнкция ₁₂ … _n), а заключения ₁, ₂, … , _n попарно несовместны (ложна каждая конъюнкция _i&_j). Тогда верны обратные теоремы

₁₁; … ; _n_n.

Доказательство. Допустим, что какая-нибудь из обратных теорем, например, _n_n –ложна, тогда по определению импликации _n – истинна, а _n – ложна. Следовательно, по условию несовместности,ложны все высказывания ₁, ₂, … , _n-1. Поэтому ложны все условия ₁, ₂, …, _n-1(по определению импликации и в силу истинности прямых теорем). Но тогда истинно высказывание _n

(так как истинно ₁₂… _n), противоречие. Поэтому теорема _n_n – верна.

Пример. Пусть D = b² – 4ac – дискриминант квадратного трёхчлена ax²+bx+c. Известно, что верны теоремы:

1. Если D>0, то квадратный трёхчлен имеет два различных корня.

2. Если D<0, то квадратный трёхчлен не имеет корней.

3. Если D=0, то квадратный трёхчлен имеет один корень.

Условия этих теорем исчерпывают все возможные случаи: D>0, D=0, D<0. Каждое из заключений исключает все остальные. Следовательно, по теореме Гаубера верны обратные теоремы:

1. Если кв. трёхчлен имеет два различных корня, то D>0.

2. Если кв. трёхчлен имеет один корень, то D=0.

3. Если кв. трёхчлен не имеет корней, то D<0.

Б ольшое место в математической теории занимает доказательство теорем. Доказательство есть конечная последовательность утверждений, каждое из которых является или условием теоремы, или аксиомой, или ранее доказанной теоремой, или получено из предыдущих членов этой последовательности посредством логических умозаключений, основанных на законах логики. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные методы математических доказательств. 1. Доказательство с помощью построения цепочки импликаций. Этот метод используется при доказательстве теорем, имеющих форму импликации:   . Строят последовательность истинных импликаций   ₁, ₁  ₂, _{… ,} _к  , где ₁, ₂, … , _к некоторые вспомогательные утверждения, возникающие в процессе доказательства. И если такая цепочка построена, то    - истинное утверждение, что вытекает из закона силлогизма: так как   ₁  И & ₁  ₂  И по построению цепочки и (  ₁) & (₁  ₂)  (  ₂) – закон силлогизма( т.е.  И ), то и   ₂  И. Двигаясь далее по цепочке, приходим к заключению:   И.

Используется обычно более короткая запись для этой цепочки импликаций:   ₁ ₂₃ … _k.

Пример:  - «если число n составное, то n >2»; здесь:  - «число n составное»,  - «n >2», ₁ - «n = p_1*p_2* …_*p_m и p₁,р₂, …,р_mР и m >1», ₂ - «n > 2_*3» , здесь к = 2.

2 . Необходимое и достаточное условия. В математике часто встречаются теоремы, имеющие форму эквиваленции:    («  равносильно », или «  тогда и только тогда, когда », или «для того, чтобы  необходимо и достаточно, чтобы »). Поскольку (  )  (  )&(  ) тавтология, то доказательство такой теоремы сводится к доказательству двух теорем    и   , сформулированных уже в виде импликаций; доказательство первой из них называется доказательством достаточности исходной теоремы, а второй – необходимости. Будем использовать ещё два понятия: если   И , то  называется достаточным условием для , а  необходимым условием для . Если же     И, то  называется необходимым и достаточным условием для , и – наоборот:  для  называется необходимым и достаточным условием.