Формулы и их равносильности. Основные равносильности алгебры высказываний.

Всюду далее под переменным высказыванием будем понимать специальную переменную величину, которая может принимать только два значения: И или Л. Символы И и Л (и только они) будут обозначать постоянные высказывания; т. к. любое постоянное высказывание принимает лишь одно из этих значений; т. о. в отличие от предыдущего пункта далее все прописные латинские буквы (включая и первые: А, В, …) будут обозначать переменные высказывания. Введём понятие формулы алгебры высказываний.

Определение. 1). Каждое постоянное высказывание (И, Л) и каждое переменное высказывание (А, В, …,Y, Z) есть формулы алгебры высказываний. 2). Если  и  - формулы алгебры высказываний, то (), ( ), (), (),() также – формулы алгебры высказываний. 3). Перечисленные в пунктах 1) и 2) выражения и только они являются формулами алгебры высказываний.

Примеры. 1). ((АВ)С), ((А )(СD)), ((А )С) - формулы алгебры высказываний. 2). В), А, (ВС - не являются формулами.

Скобки, используемые в записи формул, определяют порядок выполнения логических операций. Для упрощения формул, как и в арифметике, условимся:

а) опускать внешние скобки в записи формул;

б) не заключать в скобки формулу или её часть, находящуюся под знаком отрицания;

в) считать, что каждая из операций последовательности: , , ,  связывает сильнее, чем любая из последующих, и выполнять операции в порядке убывания силы, если скобки не предписывают противное.

Следуя этому правилу, например, формулу (((АВ)С)D) можно записать проще

А ВСD. Каждому набору значений переменных, входящих в данную формулу, соответствует единственное значение самой формулы (либо И либо Л). Например, если в формуле ВСD переменные А, В, С, D принимают соответственно значения И, Л, Л, И, то формула примет значениеИЛЛИ  ЛЛЛИ  ЛЛИ  ЛИ  И.

Определение. Две формулы  и  называются равносильными, если они принимают одинаковые значения при каждом наборе значений переменных, входящих в  и .

Символ    означает, что формула  равносильна формуле .

Теорема. Отношение равносильности формул обладает свойствами:

1). Каждая формула равносильна сама себе:    (свойство рефлексивности).

2). Если   , то    (свойство симметричности).

3). Если    и   , то    (свойство транзитивности).

Доказательство непосредственно вытекает из определения. Три приведённых свойства означают, что отношение равносильности является отношением эквивалентности.

Теорема. Для любых переменных высказываний А, В, С справедливы равносильности:

1). (АВ)С  А(ВС); 1)` (АВ) С  А (ВС) (ассоциативность операций  и );

2). АВ  ВА; 2)` АВ  ВА (коммутативность операций  и );

3). А(ВС) (АВ)(АС); 3)` А(ВС) (АВ)(ВС) (дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции ( 3) ) и конъюнкции относительно дизъюнкции ( 3)` );

4). АЛ  А; 4).` АИ  А;

5). АИ  И; 5)` АЛ  Л;

6). АА  А; 6)` АА  А (идемпотентность дизъюнкции и конъюнкции);

7). (А)  А (закон двойного отрицания);

8). Л  И; 8)` И  Л;

9 ). АВ А В; 9)` АВ А В (теоремы А. де Моргана).

Доказательство каждой из этих равносильностей можно провести с помощью таблиц истинности. Докажем, например, 9):

А	В	АВ	(АВ)	А	В	(А)(В)
И	И	И	Л	Л	Л	Л
И	Л	И	Л	Л	И	Л
Л	И	И	Л	И	Л	Л
Л	Л	Л	И	И	И	И

Четвёртый и седьмой столбцы таблицы совпадают. Это показывает, что при каждом наборе значений переменных А и В формулы (АВ) и (А)(В) принимают соответственно одинаковые значения, т.е., по определению, являются равносильными.

Как видим, алгебра высказываний, как и алгебра множеств, является булевой алгеброй.

Если в любой из равносильностей последней теоремы любое переменное высказывание заменить всюду и одинаково одной и той же формулой, то получим новую равносильность. Например, первая теорема де Моргана после замены А на  и В на  даёт равносильность ()  ()(), где  и  - произвольные формулы.

Далее. Заменяя в любой формуле любую её часть равносильной этой части формулой, получим формулу, равносильную данной. При этом предполагается, что эта часть формулы сама должна быть формулой. Возьмём, например, формулу С(АВ). Согласно последней теореме (АВ)  (А)(В). Поэтому, выполнив указанную выше замену, имеем равносильность С (АВ)  С  (А)(В).