Тема 5.2. Газові закони. Рівняння стану ідеального газу. (2 год.)

Мета: пояснити поняття температури – як величини, що характеризує стан теплової рівноваги та є мірою середньої кінетичної енергії молекул, пояснити з точки зору МКТ основне рівняння для газів, розглянути процеси, які відбуваються у газах із зміною тільки двох параметрів коли третій залишається сталим; розвивати уяву і логічне мислення студентів ; виховувати впевненість у собі, необхідність в знаннях.

План.

1. Характеристика ідеального газу.

2. Основне рівняння МКТ.

3. Поняття температури.

4. Газові закони.

Вивчення нового матеріалу.

Простою моделлю, даною молекулярно-кінетичною теорією, є модель ідеального газу. У кінетичній моделі ідеального газу молекули розглядаються як ідеально пружні кульки, що взаємодіють між собою і із стінками тільки під час пружних зіткнень. Сумарний об'єм усіх молекул передбачається малим в порівнянні з об'ємом посудини, в якому знаходиться газ. Модель ідеального газу добре описує поведінку реальних газів в широкому діапазоні тисків і температур. Завдання молекулярно-кінетичної теорії полягає в тому, щоб встановити зв'язок між мікроскопічними (маса, швидкість, кінетична енергія молекул) і макроскопічними параметрами (тиск, об'єм, температура).

В результаті кожного зіткнення між молекулами і молекул із стінками швидкості молекул можуть змінюватися по модулю і по напряму; на інтервалах часу між послідовними зіткненнями молекули рухаються рівномірно і прямолінійно. У моделі ідеального газу передбачається, що усі зіткнення відбуваються за законами пружного удару, тобто підкоряються законам механіки Ньютона.

Використовуючи модель ідеального газу, вичислимо тиск газу на стінку посудини. В процесі взаємодії молекули із стінкою посудини між ними виникають сили, що підкоряються третьому закону Ньютона. В результаті проекція υx швидкості молекули, перпендикулярна стінці, змінює свій знак на протилежний, а проекція υy швидкості, паралельна стінці, залишається незмінною (мал. 1).

Малюнок 1.

Тому зміна імпульсу молекули дорівнюватиме 2m0υx, де m0 - маса молекули.

Виділимо на стінці деякий майданчик S (мал.2). За час Δt з цим майданчиком зіткнуться усі молекули, що мають проекцію швидкості υx, спрямовану у бік стінки, і площі S, що знаходяться в циліндрі з основою, і заввишки υxΔt.

Малюнок 2.

Нехай в одиниці об'єму посудини містяться n молекул; тоді число молекул в об'ємі циліндра рівне nSυxΔt. Але з цього числа лише половина рухається у бік стінки, а інша половина рухається в протилежному напрямі і із стінкою не стикається. За законами механіки зміна імпульсу усіх молекул, що зіткнулися із стінкою, відбувається під дією імпульсу сили FΔt, де F - деяка середня сила, діюча на молекули з боку стінки на площі S. Але за 3-м законом Ньютона така ж по модулю сила діє з боку молекул на площу S. Тому можна записати:

Розділивши обидві частини на SΔt, отримаємо:

де p - тиск газу на стінку посудини.

При виведенні цього співвідношення передбачалося, що усі n молекул, що містяться в одиниці об'єму газу, мають однакові проекції швидкостей на вісь X. Насправді це не так.

В результаті численних зіткнень молекул газу між собою і із стінками в посудині, що містить велике число молекул, встановлюється деякий статистичний розподіл молекул за швидкостями. При цьому усі напрями векторів швидкостей молекул виявляються рівноправними (рівноімовірними), а модулі швидкостей і їх проекції на координатні осі підкоряються певним закономірностям. Розподіл молекул газу по модулю швидкостей називається розподілом Максвелла. Дж. Максвел в 1860 р. вивів закон розподілу молекул газу за швидкостями, виходячи з основних положень молекулярно-кінетичної теорії. На мал. 3 представлені типові криві розподіли молекул за швидкостями. По осі абсцис відкладений модуль швидкості, а по осі ординат - відносне число молекул, швидкості яких лежать в інтервалі від υ до υ + Δυ. Це число дорівнює площі виділеного на мал. 3.2.3 стовпчика.

Малюнок 3.

Із зростанням температури максимум кривий розподіли зміщується у бік великих швидкостей, при цьому υв і υкв збільшуються.

Щоб уточнити формулу для тиску газу на стінку посудини, припустимо, що усі молекули, що містяться в одиниці об'єму, розбиті на групи, n1, що містять, n2, n3 і т. д. молекул з проекціями швидкостей υx1, υx2, υx3 і т. д. відповідно. В результаті зіткнень із стінкою молекул з різними значеннями проекцій υxi швидкостей виникає сумарний тиск

Сума, що входить в цей вираз, - це сума квадратів проекцій υx усіх n молекул в одиничному об'ємі газу. Якщо цю суму розділити на n, то ми набудемо середнього значення /квадрата проекції /швидкості молекул :

Тепер формулу для тиску газу можна записати у виді

Оскільки усі напрями для векторів швидкостей молекул рівноймовірні, середнє значення квадратів їх проекцій на координатні осі рівні між собою:

Формула для середнього тиску газу на стінку посудини запишеться у виді

Це рівняння називають основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії газів.

Таким чином, тиск газу дорівнює двом третинам середньої кінетичної енергії поступального руху молекул, що містяться в одиниці об'єму.

Виникають питання: яким чином можна на досліді змінювати середню кінетичну енергію руху молекул в посудині незмінного об'єму? Яку фізичну величину треба змінити, щоб змінилася середня кінетична енергія. Досвід показує, що такою величиною є температура.

Поняття температури тісно пов'язане з поняттям теплової рівноваги. Тіла, що знаходяться в контакті один з одним, можуть обмінюватися енергією. Енергія, що передається одним тілом іншому при тепловому контакті, називається кількістю теплоти.

Теплова рівновага - це такий стан системи тіл, що знаходяться в тепловому контакті, при якому не відбувається теплопередачі від одного тіла до іншого, і усі макроскопічні параметри тіл залишаються незмінними. Температура - це фізичний параметр, однаковий для усіх тіл, що знаходяться в тепловій рівновазі. Можливість вступу поняття температури виходить з досвіду і носить назву нульового закону термодинаміки.

Для виміру температури використовуються фізичні прилади - термометри, в яких про величину температури судять по зміні якого-небудь фізичного параметра. Для створення термометра необхідно вибрати термометричну речовину (наприклад, ртуть, спирт) і термометричну величину, що характеризує властивість речовини (наприклад, довжина ртутного або спиртового стовпчика). У різних конструкціях термометрів використовуються різноманітні фізичні властивості речовини (наприклад, зміна лінійних розмірів твердих тіл або зміна електричного опору провідників при нагріванні).

Термометри мають бути відкалібровані. Для цього їх приводять в тепловий контакт з тілами, температури яких вважаються заданими. Найчастіше використовують прості природні системи, в яких температура залишається незмінною, незважаючи на теплообмін з довкіллям - це суміш льоду і води і суміш води і пари при кипінні при нормальному атмосферному тиску. За температурною шкалою Цельсія точці плавлення льоду приписується температура 0 °С, а точці кипіння води - 100 °С. Зміна довжини стовпа рідини в капілярах термометра на одну соту довжини між відмітками 0 °С і 100 °С приймається рівним 1 °С. У ряді країн (США) широко використовується шкала Фаренгейта (TF), в якій температура замерзаючої води приймається рівною 32 °F, а температура кипіння води рівної 212 °F. Отже,

Особливе місце у фізиці займають газові термометри (мал. 4), в яких термометричною речовиною є розріджений газ (гелій, повітря) в посудині незмінного об'єму (V = const), а термометричною величиною – тиск газу p. Досвід показує, що тиск газу (при V = const) росте із зростанням температури, виміряної за шкалою Цельсія.

Малюнок 4.

Газовий термометр з постійним об'ємом

Щоб проградуювати газовий термометр постійного об'єму, можна виміряти тиск при двох значеннях температури (наприклад, 0 °C і 100 °C), нанести точки p0 і p100 на графік, а потім провести між ними пряму лінію (мал. 5). Використовуючи отриманий таким чином калібрувальний графік, можна визначати температури, відповідні іншим значенням тиску. Екстраполюючи графік в область низьких тисків, можна визначити деяку "гіпотетичну" температуру, при якій тиск газу став би рівним нулю. Досвід показує, що ця температура рівна - 273,15 °З і не залежить від властивостей газу. На досвіді отримати шляхом охолодження газ в змозі з нульовим тиском неможливо, оскільки при дуже низьких температурах усі гази переходжуватимуть в рідкий або твердий стан.

Малюнок 5.

Залежність тиску газу від температури при V = const

Англійський фізик У. Кельвін (Томсон) в 1848 р. запропонував використовувати точку нульового тиску газу для побудови нової температурної шкали (шкала Кельвіна). У цій шкалі одиниця виміру температури така ж, як і в шкалі Цельсія, але нульова точка зрушена:

TК = TС + 273,15.

У системі СІ прийнято одиницю виміру температури за шкалою Кельвіна називати кельвином і означати буквою K. Наприклад, кімнатна температура TС = 20 °С за шкалою Кельвіна рівна TК = 293,15 К.

Температурна шкала Кельвіна називається абсолютною шкалою температур. Вона виявляється найбільш зручною при побудові фізичних теорій.

Немає необхідності прив'язувати шкалу Кельвіна до двох фіксованих точок - точки плавлення льоду і точки кипіння води при нормальному атмосферному тиску, як це прийнято в шкалі Цельсія.

Окрім точки нульового тиску газу, яка називається абсолютним нулем температури, досить прийняти ще одну фіксовану опорну точку. У шкалі Кельвіна як така точка використовується температура потрійної точки води (0,01 °С), в якій в тепловій рівновазі знаходяться усі три фази - лід, вода і пара. За шкалою Кельвіна температура потрійної точки приймається рівною 273,16 К.

Газові термометри громіздкі і незручні для практичного застосування: вони використовуються як прецизійний стандарт для калібрування інших термометрів.

Таким чином, тиск розрідженого газу в посудині постійного об'єму V змінюється прямо пропорціонально його абсолютній температурі: p ~ T. З іншого боку, досвід показує, що при незмінних об'ємі V і температурі T тиск газу змінюється прямо пропорціонально відношенню кількості речовини ν в цій посудині до об'єму V посудини

де N - число молекул в посудині, NА - постійна Авогадро, n = N / V - концентрація молекул (тобто число молекул в одиниці об'єму посудини). Об'єднуючи ці співвідношення пропорційності, можна записати:

p = nkT

де k - деяка універсальна для усіх газів постійна величина. Її називають постійною Больцмана, на честь австрійського фізика Л. Больцмана, одного з творців молекулярно-кінетичної теорії. Постійна Больцмана - одна з фундаментальних фізичних констант. Її чисельне значення в СІ рівне:

k = 1,38·10-23 Дж/К.

Порівнюючи співвідношення p = nkT з основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії газів, можна отримати:

Середня кінетична енергія хаотичного руху молекул газу прямо пропорційна абсолютній температурі.

Таким чином, температура є міра середньої кінетичної енергії поступальної ходи молекул.

Слід звернути увагу на те, що середня кінетична енергія поступальної ходи молекули не залежить від її маси. Броунівська частка, зважена в рідині або газі, має таку ж середню кінетичну енергію, як і окрема молекула, маса якої на багато порядків менше маси броунівської частки. Цей вивід поширюється і на випадок, коли в посудині знаходиться суміш хімічно невзаємодіючих газів, молекули яких мають різні маси. В стані рівноваги молекули різних газів матимуть однакові середні кінетичні енергії теплового руху, визначувані тільки температурою суміші. Тиск суміші газів на стінки посудини складатиметься з парціальних тисків кожного газу :

p = p1 + p2 + p3 + . = (n1 + n2 + n3 + .) kT.

У цьому співвідношенні n1, n2, n3, . - концентрації молекул різних газів в суміші. Це співвідношення виражає на мові молекулярно-кінетичної теорії експериментально встановлений на початку XIX століття закон Дальтона : тиск в суміші хімічно невзаємодіючих газів дорівнює сумі їх парціальних тисків.

Співвідношення

p = nkT

зв'язуюче тиск газу з його температурою і концентрацією молекул, отриман для моделі ідеального газу, молекули якого взаємодіють між собою і із стінками посудини тільки під час пружних зіткнень. Це співвідношення може бути записане в іншій формі, що встановлює зв'язок між макроскопічними параметрами газу - об'ємом V, тиском p, температурою T і кількістю речовини ν. Для цього треба використовувати рівність

Тут N - число молекул в посудині, NА - постійна Авогадро, m - маса газу в посудині, M - молярна маса газу. У результаті отримаємо:

Добуток постійної Авогадро NА та постійної Больцмана k називається універсальною газовою постійною і позначається буквою R. Її чисельне значення в СІ є:

R = 8,31 Дж/міль·К.

Співвідношення

називається рівнянням стану ідеального газу.

Для одного моля будь-якого газу це співвідношення набирає вигляду:

pV=RT.

Якщо температура газу рівна Tн = 273,15 До (0 °С), а тиск pн = 1 атм = 1,013·105 Па, то говорять, що газ знаходиться за нормальних умов. Як випливає з рівняння стану ідеального газу, один моль будь-якого газу за нормальних умов займає один і той же об'єм V0, рівний

V0 = 0,0224 м3/міль = 22,4 дм3/міль.

Це твердження називається законом Авогадро.

Для суміші невзаємодіючих газів рівняння стану набирає вигляду

pV = (ν1 + ν2 + ν3 + ..) RT

де ν1, ν2, ν3 і т. д. - кількість речовини кожного з газів в суміші.

Рівняння, що встановлює зв'язок між тиском, об'ємом і температурою газу було отримано в середині XIX століття французьким фізиком Б. Клапейроном, у формі (*) воно було уперше записане Д. И. Менделеевым. Тому рівняння стану газу називається рівнянням Клапейрона-Менделєєва.

Слід зазначити, що задовго до того, як рівняння стану ідеального газу було теоретично отримане на основі молекулярно-кінетичної моделі, закономірності поведінки газів в різних умовах були добре вивчені експериментально. Тому рівняння (*) можна розглядати як узагальнення досвідчених фактів, які знаходять пояснення в молекулярно-кінетичній теорії.

Газ може брати участь в різних теплових процесах, при яких можуть змінюватися усі параметри, що описують його стан (p, V і T). Якщо процес протікає досить повільно, то у будь-який момент система близька до свого рівноважного стану. Такі процеси називаються квазістатичними. У звичному для нас масштабі часу ці процеси можуть протікати і не дуже повільно. Наприклад, розрідження і стискування газу в звуковій хвилі, сотні разів, що відбуваються, в секунду, можна розглядати як квазістатичний процес. Квазістатичні процеси можуть бути зображені на діаграмі станів (наприклад, в координатах p, V) у вигляді деякої траєкторії, кожна точка якої представляє рівноважний стан.

Інтерес представляють процеси, в яких один з параметрів (p, V або T) залишається незмінним. Такі процеси називаються изопроцессами.

Ізотермічний процес (T = const)

Ізотермічним процесом називають квазістатичний процес, що протікає при постійній температурі T. З рівняння (*) стану ідеального газу виходить, що при постійній температурі T і незмінній кількості речовини ν в посудині твір тиску p газу на його об'єм V повинен залишатися постійним:

pV = const.

На площині (p, V) ізотермічні процеси зображаються при різних значеннях температури T сімейством гіпербол p ~ 1 / V, які називаються ізотермами. Оскільки коефіцієнт пропорційності в цьому співвідношенні збільшується із зростанням температури, ізотерми, відповідні вищим значенням температури, розташовуються на графіці вище за ізотерми, відповідні меншим значенням температури (мал. 6). Рівняння ізотермічного процесу було отримане з експерименту англійським фізиком Р. Бойлем (1662 р.) і незалежно французьким фізиком Э. Мариоттом (1676 р.). Тому це рівняння називають законом Бойля-Мариотта.

Малюнок 6.

Ізохорний процес (V = const)

Ізохорний процес - це процес квазістатичного нагрівання або охолодження газу при постійному об'ємі V і за умови, що кількість речовини ν в посудині залишається незмінною.

Як випливає з рівняння (*) стану ідеального газу, за цих умов тиск газу p змінюється прямо пропорціонально його абсолютній температурі: p ~ T або

На площині (p, T) ізохорні процеси для заданої кількості речовини ν при різних значеннях об'єму V зображаються сімейством прямих ліній, які називаються ізохорами. Великим значенням об'єму відповідають ізохори з меншим нахилом по відношенню до осі температур (мал. 7).

Малюнок 7.

Експериментально залежність тиску газу від температури досліджував французький фізик Ж. Шарль (1787 р.). Тому рівняння ізохорного процесу називається законом Шарля.

Рівняння ізохорного процесу може бути записане у виді:

де p0 - тиск газу при T = T0 = 273,15 До (тобто при температурі 0 °С). Коефіцієнт α, рівний (1/273,15) К- 1, називають температурним коефіцієнтом тиску.

Ізобарний процес (p = const)

Ізобарним процесом називають квазістатичний процес, що протікає при незмінним тиску p.

Рівняння ізобарного процесу для деякої незмінної кількості речовини ν має вигляд:

де V0 - об'єм газу при температурі 0 °С. Коефіцієнт α рівний (1/273,15) К- 1. Його називають температурним коефіцієнтом об'ємного розширення газів.

На площині (V, T) ізобарні процеси при різних значеннях тиску p зображаються сімейством прямих ліній (мал. 8), які називаються ізобарами.

Малюнок 8

Залежність об'єму газу від температури при незмінному тиску була експериментально досліджена французьким фізиком Ж. Гей-Люссаком (1862 р.). Тому рівняння ізобарного процесу називають законом Гей-Люссака.

Експериментально встановлені закони Бойля-Мариотта, Шарля і Гей-Люссака знаходять пояснення в молекулярно-кінетичній теорії газів. Вони є наслідком рівняння стану ідеального газу.

Запитання для самоперевірки:

1. Що є ідеальним газом у МКТ?

2. Назвіть умови, за яких газ можна вважати ідеальним.

3. Який механізм виникнення тиску газу з погляду МКТ?

4. Чому барабанна перетинка вуха людини не протискується молекулами атмосферного повітря, що бомбардують її?

5. Запишіть і поясніть фізичний зміст основного рівняння МКТ.

6.Які параметри характеризують стан макроскопічних тіл?

7.Які ознаки стану теплової рівноваги ви знаєте?

8.Наведіть приклади теплової рівноваги тіл, що оточують вас у повсякденному житті.

9.Якою фізичною величиною характеризується стан теплової рівноваги?

10.Що таке температура і що вона характеризує?

11.Яка залежність об’єму рідин і газів від зміни температури?

12.Яка будова і дія рідинного та газового термометрів?

13.Як пов’язані об’єм, тиск і кількість молекул різних газів у стані теплової рівноваги?

14.Який фізичний зміст сталої Больцмана? Чому вона дорівнює?

15.Що називають абсолютним нулем температури? Який фізичний зміст цього поняття з погляду МКТ?

16.Чому дорівнює тиск ідеального газу на стінки посудини за абсолютного нуля температури?

17.Поясніть принцип побудови температурних шкал Цельсія і Кельвіна. Встановіть формули, що виражають співвідношення між значеннями температури, вимірюваної за шкалами Цельсія і Кельвіна.

18.Запишіть формулу, що показує, як залежить від температури середня кінетична енергія поступального руху молекул.

19.Запишіть і поясніть формулу, що показує залежність тиску газу від його температури і концентрації молекул.

20. Що таке параметри стану системи? Які величини до них належать?

21.Наведіть рівняння стану системи.

22. Виведіть рівняння Клапейрона-Менделєєва для довільної маси ідеального газу.

23.Як записати рівняння стану для одного моля ідеального газу?

24. Виведіть рівняння Клапейрона. Як воно формулюється?

25.Чому дорівнює об’єм одного моля будь-якого газу за нормальних умов?

26.Чому дорівнює універсальна газова стала в СІ?

27. Що таке ізопроцеси?

28. Який процес називають ізотермічним? Яким законом описується цей процес? Як формулюють і записують цей закон? Зобразіть і поясніть графіки цього закону.

29. Який процес називають ізохорним? Яким законом описують ізохорний процес? Як формулюють і записують цей закон? Зобразіть і поясніть графік цього закону.

30.Який процес називають ізобарним? Яким законом описують ізобарний процес? Як формулюють і записують цей закон? Зобразіть і поясніть графік цього закону.

31.Побудуйте ізотерму, ізохору, ізобару в координатах , , .