Вопрос 10. Постройте платежную матрицу следующей игры.

Игрок 2 прячет в одном из n мест предмет стоимостью сj (j=1,2,…,n). Игрок 1 ищет этот предмет в одном из n мест, и если находит, то получает сj, в противном случае получает 0. Пусть n=4 и вектор стоимости предметов с = (5, 7, 3, 12). Чему равна цена игры?

Варианты ответов:

1)1,75; 2)1,57; 3)1,32; 4)1,23; 5)1,12.

Задание 3.1. В задачах 3.1.1 – 3.1.10 найдите решение игр, определяемых следующими платёжными матрицами:

3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5

3.1.6 3.1.7 3.1.8 3.1.9 3.1.10

Задание 3.2.

Задача 3.2.1. По требованию рабочих некоторой компании проф­союз ведет с ее руководством переговоры об организации горячих обедов за счет компании. Профсоюз, представляющий интересы рабочих, добивается того, чтобы обед был как можно более качест­венным и, следовательно, более дорогим. Руководство компании имеет противоположные интересы. В конце концов стороны до­говорились о следующем. Профсоюз выбирает одну из шести фирм (Ф1,…,Ф6), поставляющих горячее питание, а руководство компании — набор блюд из семи возможных вариантов (B1,…,B7). После подписания соглашения профсоюз формирует следующую платежную матрицу, элементы которой представляют стоимость набора блюд:

Вариант Фирма Ф	B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7
Ф1	2,3	4,3	3,3	2,8	5,2	2,9	3,3
Ф2	4,2	2,2	2,7	4,2	2,2	3,7	2,7
Ф3	1,2	3,7	2,7	5,2	1,2	1,7	3,7
Ф4	4,2	1,7	2,2	1,4	2,9	3,2	1,2
Ф5	3,2	3,2	2,9	2,2	6,2	2,4	1,7
Ф6	1,7	4,2	2,5	3,2	4,7	2,7	2.0

Определите оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Вопросы:

Чему равна цена игры?

Какая фирма наиболее предпочтительна для профсоюза?

Какой набор руководство компании считает наиболее «вы­ годным»?

Чему равна нижняя цена игры?

- Задача 3.2.2. Две телевизионные компании (А и В) планируют к размещению в эфире по две передачи ( новостную и спортивную ). Новости компании А долее популярны, чем новости компании В, но компания В готовит лучшие спортивные передачи. Опросы показали, что если А и В одновременно размещают новостную программу, то доля аудитории составит 55% к 45% соответственно, если обе компании демонстрируют спортивную программу, то доля аудитории составит 44% к 56%. Если А показывает спорт в то время, как В – новости, доля аудитории каждой компании – 50%. Если А показывает новости, а В – спортивные репортажи, доля аудитории составит 52% к 48%. Решите игру. Как изменится решение при других соотношениях аудитории компаний?

- Задача 3.2.3. Фирма, занимающаяся производством и переработкой сельскохозяйственной продукции, может: 1) сразу предложить продукцию на рынок; 2) продавать после небольшого периода хранения; 3) продавать после дополнительной обработки. Потребители могут приобрести продукцию: 1) немедленно; 2) в течение небольшого периода времени; 3) в течение длительного периода времени. В зависимости от выбранных стратегий поведения на рынке и сложившейся конъюнктуры доход предприятия определяется следующей таблицей:

Выбор потребителя

	1	2	3
1	2	5	8
2	7	6	10
3	12	10	8

Стратегия поведения

Определите оптимальные пропорции производства и переработки продукции.

Задача 3.2.4. Имеются два предприятия, которые в дополнение к основной продукции могут выпускать побочную продукцию од­ного и того же назначения — пластмассовые игрушки. Известно, что они могут продавать ее в одном и том же городе. Игрушки немного отличаются по конструкции, оформлению, удобству и т.д. Первое предприятие может выпускать игрушки типа A1, A2,…, Am ; второе — типа B1, B2,… Bn. Себестоимость и цена игрушек у всех предприятий одинаковы. Всего в течение года продается N игрушек. Если первое предприятие выпускает игрушки типа Аi, а второе — типа Bj , то первое предприятие продаст rijN игрушек, а второе — (N— rijN). Каждое предприятие стремится получить максимальный доход от продажи игрушек.

Пусть m = 4, n = 5, N= 300 000, цена одной иг­рушки составляет 20 руб., элементы матрицы {rij }4;5 представле­ны в таблице:

Игрушки предприятия 2 Игрушки предприятия 1	B1	B2	B3	B4	B5
А1	0,2	0,7	0,4	0,8	0,3
А2	0,8	0,5	0,1	0,3	0,7
А3	0,4	0,6	0,9	0,5	0,6
А4	0,7	0,3	0,5	0,3	0,5

Сформулируйте игру двух лиц, считая игроком 1 первое пред­приятие. Определите выигрыш (доход от продажи) каждого пред­приятия.

Вопросы:

Каков общий средний доход первого предприятия?

Каков общий средний доход второго предприятия?

Какое изделие следует выпускать первому предприятию с наибольшей вероятностью?

Какое изделие следует выпускать "второму предприятию с наибольшей вероятностью?

Какова частота применения стратегии «Выпускать изделие B2»?

Задача 3.2.5. Завод выпускает скоропортящуюся продукцию, которую может:

А1 – сразу отправить потребителю;

А2 – отправить на склад для хранения;

А3 – подвергнуть дополнительной обработке для длительного хранения.

Потребитель, в свою очередь, может приобрести продукцию:

В1 – немедленно;

В2 – в течение небольшого периода;

В3 – после длительного периода времени.

В случае стратегий А2 и А3 завод несет дополнительные затраты на хранение и обработку продукции, которые не требуются для А1. Однако при А2 следует учесть возможные убытки из-за порчи продукции, если потребитель выберет стратегии В2 или В3. Матрица затрат представлена в таблице:

Bj Ai	В1	В2	B3
A1	2	5	8
A2	7	6	10
A3	12	10	8

Вопросы:

1. Каковы оптимальные средние затраты на хранение и обработку продукции?

2. Определить оптимальные пропорции продукции для применения стратегий А1, А2, А3, руководствуясь минимальным критерием при заданной матрице затрат.

Задача 3.2.6. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продажи товаров (П1, П2 П3) на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей (К1, К2, К3). Показатели дохода даны в таблице. Определить оптимальный план продажи.

Кj Пi	К1	К2	К3	К4
П1	8	4	9	2
П2	2	8	3	4
П3	1	2	3	8

- Задача 3.2.7. Два предприятия А и В выделяют денежные средства на строительство четырёх объектов. Из-за особенностей вкладов и местных условий разность прибыли предприятий А и В различны ( см. таблицу ). Найдите оптимальные стратегии предприятий.

0	1	-1	2
-1	0	3	2
0	1	2	-1
2	0	0	0

Задачи 3.2.8. (Продавцы мороженого)

Два конкурирующих продавца мороженого независимо выбирают места для своих ларьков. Ларьки можно поставить в одном из трёх мест. Если первый ларёк получает а% прибыли, то второй – (100-а)%. Специально проведенное исследова­ние показало, что прибыль распределяется в зависимости от взаимного расположения ларьков. Стратегии первого игрока А1, А2, А3 – ставить ларёк в месте 1,2,3; второго – В1, В2, В3 соответственно. Матрица распределения прибыли первого игрока в зависимости от взаимного расположения ларьков имеет вид:

Стратегии игрока 2 Стратегии игрока 1	В1	В2	В3
А1	50%	40%	50%
А2	60%	50%	30%
А3	50%	70%	50%

Вопросы

1. В каких местах фирмам целесообразно поставить свои ларьки?

2. С какой частотой следует игроку 2 использовать стра­тегию В2?

3. Какой процент рынка может обеспечить себе первый продавец?

Задача 3.2.9. (Государство и налогоплательщик)

Рассмотрим игру, в которой участвуют государство и налогоплательщик. Доход налогоплательщика равен 5 единицам. Государство выбирает уровень подоходного налога: высокий (В=40%) либо низкий (Н=20%). Налогоплательщик может честно заплатить налог, а может уклониться от его уплаты. Если он решает не платить налоги, то с вероятностью 50% налоговые органы обнаруживают это и заставляют его заплатить весь налог и дополнительно внести в казну штраф в размере 1 единица. Выигрыш государства – это ожидаемый объем налоговых поступлений, а выигрыш налогоплательщика – его ожидаемый доход (после уплаты всех налогов и штрафов). Постройте матрицу игры , найдите цену игры и оптимальные стратегии налогоплательщика и государства.

Задача 3.2.10. Две конкурирующие фирмы выбирают стратегии рекламной компании для продвижения своих товаров на рынок. У фирмы 1 возможный набор стратегий А 1, А 2, А 3, у фирмы 2 – В1, В2, В3. Отдача от рекламы фирмы 1 зависит от того, какой стратегии будет придерживаться фирма 2. Платёжная матрица эффективности рекламы имеет вид:

Стратегии игрока 2 Стратегии игрока 1	В1	В2	В3
А1	5	6	2
А2	3	5	4
А3	4	7	5

Определить оптимальную стратегию игрока 1 и цену игры.

Литература к главе 3:

Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2003. – (Серия «Высшее образование»).

Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте: Учебное пособие. – М.: Русская деловая литература, 1999.

Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1976.

Дубина И.Н. Основы теории экономических игр. Учебное пособие. – М.:Кнорус,2013.