§ 3.4. Общая характеристика подхода метода анализа иерархий

Достоинством метода является направленность на сравнение реальных альтернатив. Метод может применяться и в случаях, когда эксперты или ЛПР не могут дать абсолютные оценки альтернатив по критериям, а пользуются более слабыми сравнительными измерениями.

Недостатки метода неоднократно обсуждались в статьях различных авторов. Весьма существенной проблемой, на взгляд многих ученых, является необоснованный переход к числам при проведении измерений, оторванность метода объединения оценок от предпочтений ЛПР.

Тема 3. Многокритериальные задачи принятия решений

Многокритериальная оптимизация

На практике часто приходится решать многокритериальные оптимизационные задачи — задачи, в которых приходится учитывать набор из нескольких несоизмеримых, противоречивых целевых функций, которые следует рассматривать одновременно.

В качестве иллюстрации можно привести следующую, часто встречающуюся ситуацию. Необходимо принять решение о строительстве нового предприятия. Для этого из нескольких конкурсных проектов необходимо выбрать один. Критериями эффективности могут служить стоимость реализации проекта и величина прибыли , которую обеспечит построенное предприятие. Если ограничить рассмотрение данной задачи лишь одним критерием эффективности, практическая значимость решения такой задачи окажется незначительной. В самом деле, при использовании только первого критерия будет выбран самый дешевый проект, но его реализация может привести к недопустимо малой прибыли. С другой стороны, на строительство самого прибыльного проекта, выбранного на основе второго критерия эффективности, может просто не хватить имеющихся средств. Поэтому в данной задаче необходимо учитывать оба указанных критерия одновременно. Если же дополнительно стараться минимизировать нежелательные экологические последствия строительства и функционирования предприятия, то к двум указанным следует добавить еще один – третий критерий и т.д. Рассмотренная многокритериальная задача носит название задачи выбора наилучшего проектного решения.

II-1. 1. Формулировка многокритериальной задачи

В общем виде математическая формулировка многокритериальной задачи выглядит следующим образом.

Требуется найти значения действительных переменных x1,…,xn, при которых целевые функции

(X),…, (X)

принимают экстремальные значения при ограничениях:

,

где X — n-мерный вектор независимых переменных x1,…,xn, —система ограничений.

Если цели находятся в противоречии друг с другом, то не существует оптимального решения, которое удовлетворяло бы всем критериям эффективности. В этом случае вводится понятие «эффективное решение». Оно означает, что невозможно улучшить значение любой из целевых функций без ухудшения значений одной или нескольких целевых функций. Уточним введённое понятие для задачи максимизации: решение X* называется эффективным, если не существует допустимого решения , такого, что ( ) (X*), , и ( ) > (X*) по крайней мере, для одного индекса j. Множество всех эффективных решений в непрерывном случае известно как эффективная граница. Эффективное решение называют также недоминируемым решением, неулучшаемым решением или решением по Парето¹ (Парето-оптимальным решением).

Очевидно, что наличие в математической модели каждой из таких задач нескольких целевых функций требует применения более гибких математических методов их решений.

В данном параграфе будет рассмотрено несколько задач с двумя или тремя целевыми функциями. В каждой из рассматриваемых задач критерии эффективности считаются равноправными.

II-1. 2. Множество Парето

Напомним некоторые определения. Пусть на плоскости (или в пространстве) дано некоторое множество точек M. Точка называется внутренней точкой множества М, если существует такая окрестность этой точки, которая целиком состоит из точек данного множества. Если же в любой окрестности точки имеются точки, как принадлежащие, так и не принадлежащие множеству М, то точка называется граничной точкой множества М. Совокупность всех граничных точек данного множества М называется его границей. Иллюстрацией служит рис. 1.

Рис. 1 Внутренняя и внешняя точки множества

Если множество М не содержит ни одной своей граничной точки, то оно называется открытым (то есть любая точка открытого множества является внутренней). Если множество М содержит все свои граничные точки, то оно называется замкнутым. В дальнейшем будут рассматриваться только замкнутые множества.

Рассмотри на плоскости множество М. Пусть Р — произвольная точка этого множества. Возможно ли во множестве М перемещение точки Р в близкую ей точку так, чтобы при этом увеличились обе её координаты? Если Р — внутренняя точка, то такое перемещение возможно. Если Р — граничная точка, то такое перемещение не всегда возможно. Иллюстрацией служит рис. 2 .

Требуемое перемещение точек , , , возможно, а ни одна из точек как отрезков и , так и дуги такому перемещению подвергнута быть не может. Действительно при перемещении любой точки

вертикального отрезка может увеличиваться лишь координата этой точки (координата при этом останется неизменной);

горизонтального отрезка может увеличиваться лишь координата (координата при этом останется неизменной);

дуги увеличение одной координаты влечёт уменьшение другой.

Таким образом, каждая точка множества М попадает в один из трёх следующих классов.

Первый класс содержит точки, каждую из которых можно переместить так, чтобы при этом увеличились обе её координаты, а сама точка осталась во множестве М (в этот класс попадают все внутренние точки множества М и некоторые его граничные точки (например, )).

Второй класс содержит точки, каждую из которых можно переместить во множестве М лишь при условии увеличения только одной из её координат при сохранении значения второй (точки вертикального отрезка и точки горизонтального отрезка ).

Третий класс содержит точки, каждую из которых можно переместить во множестве М лишь при условии уменьшения хотя бы одной из координат (точки дуги ).

Множество точек третьего класса называют границей (множеством) Парето данного множества М. Часто говорят, что граница Парето множества М — это множество точек, из которых нельзя переместиться на «север», «восток» или «северо-восток», оставаясь во множестве М. Свойства множества Парето изучены достаточно подробно, разработаны методы и алгоритмы его построения. Считается, что наилучшие решения многокритериальной задачи следует искать именно среди множества Парето. Поэтому построение множества Парето нередко считают первым необходимым шагом в решении любой многокритериальной задачи.

II-1.3. Задача линейной многокритериальной максимизации с двумя переменными и двумя целевыми функциями

Указанная задача является частным случаем многокритериальной задачи в случае p=2. Сформулируем её. Пусть на плоскости задано множество (рис.3) и в каждой точке этого множества определены две непрерывные функции = и = . Необходимо найти значения переменных, при которых указанные функции принимают наибольшие значения. Формулировку задачи максимизации с двумя целевыми функциями можно записать более компактно:

→ max;

→ max

при ограничениях:

.

Попытаемся её решить. Изобразим на плоскости все точки, координаты которых удовлетворяют условиям = , = и . Полученное множество обозначим через (рис.4).

Рис. 3. ОДР на плоскости Рис. 4. ОДР на плоскости

Из рис.4 видно, что ( ) — наибольшее значение и ( ) — наибольшее значение достигаются в разных точках. При этом (( ) , ( ) ) . Это означает, что задача неразрешима — не существует оптимального решения, которое одновременно максимизировало бы обе целевые функции. Поэтому нужно искать Парето-оптимальное решение. Как уже выше отмечалось, наилучшие решения многокритериальной задачи следует искать среди множества Парето. Рассмотрим два метода нахождения недоминируемого решения, связанных с множеством Парето:

метод (последовательных) уступок;

метод идеальной точки.

В рассматриваемом случае множество Парето составлено из допустимых точек задачи, которые не могут быть перемещены в пределах допустимого множества с улучшением сразу по двум критериям: улучшение значения одного критерия влечёт ухудшение значения другого.

Метод (последовательных) уступок заключается в том, что ЛПР, работая в режиме диалога со специалистом, анализирует точки на границе Парето и выбирает одну из них — компромиссную.

Метод идеальной точки заключается в нахождении на границе Парето точки, ближайшей к точке утопии, задаваемой ЛПР. Как правило, ЛПР формулирует цель в виде определённых показателей, и часто в качестве координат целевой точки выбирается комбинация наилучших значений всех критериев (в данном случае это — точка с координатами (( ) , ( ) )). Обычно эта точка не реализуется при заданных ограничениях, поэтому её и называют точкой утопии.

Замечание 1. Задачу максимизации можно путём умножения целевой функции на (-1) преобразовать в задачу минимизации, решаемую при тех же самых ограничениях. Это связано с наличием следующего свойства: функция достигает наибольшего значения в тех точках, в которых функция f принимает наименьшее значение, и наоборот. Это означает, что условия [f → min] и [ → max] равносильны. Следовательно, поменяв знак целевой функции на противоположный, любую двухкритериальную задачу можно свести к задаче максимизации с двумя целевыми функциями.

II-1. 4. Применение метода идеальной точки

Дадим подробную иллюстративную характеристику применения метода идеальной точки к конкретным задачам оптимизации с двумя целевыми функциями. Это позволит не приводить последующего его формального описания.

Пример II. 1. Найти значения переменных, при которых функции

= → max;

= → max

при ограничениях:

Решение. Введём на плоскости прямоугольную систему координат и построим множество — область допустимых решений данной задачи в указанной системе координат. Ограничительные условия определяют на плоскости многоугольник ABCDE (рис. 5), вершины которого имеют соответственно координаты: (0; 0), (0; 3), (2; 3), (6; 1), (6; 0). Следовательно, представляет собою многоугольник ABCDE.

Рис. 5. Область допустимых решений на плоскости

Подвергнем координаты каждой точки плоскости преобразованиям = и = . Получим плоскость . При этом, в силу линейности проводимых преобразований, прямоугольная система координат перейдёт в прямоугольную систему координат , а многоугольник ABCDE в многоугольник A*B*C*D*E*, вершины которого имеют соответственно координаты: (1; 5), (4; 2), (8; 4), (14; 10), (13; 11) (рис.6). Для наглядности укажем описанное соответствие вершин: A(0; 0) → A*(1; 5), B(0; 3) → B*(4; 2), C(2; 3) → C*(8; 4), D(6; 1) → D*(14; 10), E(6; 0) → E*(13; 11).

Таким образом, все точки, координаты которых удовлетворяют условиям = , = и , определяют на плоскости многоугольник A*B*C*D*E*. Следовательно, область допустимых решений данной задачи в системе координат (пространстве критериев) представляет собою многоугольник A*B*C*D*E*.

Рис. 6. ОДР в пространстве критериев и множество Парето

Находим множество Парето. Это — отрезок D*E*. В условии задачи не сказано, что считать точкой утопии. Поэтому выбираем комбинацию наилучших значений всех критериев. В данном случае это — точка U с координатами (14; 11).

Теперь необходимо найти во множестве Парето точку, расположенную ближе всех к точке утопии U. Из рис.6 видно, что точка I( , ), являющаяся основанием перпендикуляра, проведённого из точки U (14;11) к прямой D*E*, принадлежит отрезку D*E*. Это означает, что точка I — искомая. Найдём её координаты.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки. Имеем

,

где , и , — координаты точек D* и E* соответственно. Подставляя сюда числовые значения для координат D* и E*, находим:

, или + =24.

Нормальным вектором прямой D*E* является вектор (1; 1). Этот вектор является направляющим вектором для прямой UI. Следовательно, её каноническое уравнение имеет вид:

,

где , — координаты точки U. Подставляя сюда числовые значения для координат U, находим:

, или - =3.

Точка I принадлежит прямым D*E* и UI (рис.7). Поэтому её координаты удовлетворяют системе уравнений

Отсюда находим , .

Рис. 7. Идеальная точка

Расстояние d между точками I и U(14; 11) равно длине вектора = ( = , которая, в свою очередь, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат. Поэтому

Соответствующие значения найдём из системы линейных уравнений

Имеем

Таким образом, Парето-оптимальное решение достигается при а идеальная точка находится от точки утопии (14; 11) на расстоянии .

Замечание 2. При нахождении расстояния между точкой утопии и идеальной точкой, учитывая топологию множества Парето, был применён «геометрический» метод. В общем случае задача нахождения расстояния между указанными точками решается как экстремальная. Необходимо найти на множестве Парето точку, такую, что расстояние между ней и точкой утопии минимально:

→ min,

или, опуская знак квадратного корня,

→ min,

где и — неизвестные координаты искомой точки I, а и — уже найденные координаты точки утопии U.

Предлагается в качестве упражнения определить в задаче примера 1 идеальную точку только что описанным способом.

Пример II. 2. Найти значения переменных, при которых функции

= → max;

= → min

при тех же ограничениях, что и в примере 1.

Решение. Введём функцию = . Тогда, согласно замечанию 1, исходная задача преобразуется в задачу максимизации

= → max;

= → max.

Ограничительные условия те же, что и в примере 1. Они определяют на плоскости многоугольник ABCDE (рис 5), который функции = и = переводят в многоугольник A*B*C*D*E*. Его вершины в плоскости (пространстве критериев) имеют соответственно координаты: ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ) (рис.8).

Рис. 8. Геометрическая интерпретация задачи максимизации

Множество Парето образуют точки ломаной B*C*D*. Как и в примере 1, в условии не сказано, что считать точкой утопии. Поэтому снова выбираем комбинацию наилучших значений всех критериев. В данном случае это — точка U с координатами (заметим, что в исходной задаче ей соответствует точка с координатами , и, следовательно, в исходной задаче точкой утопии является она). Из рис.8 видно, что точка, принадлежащая ломаной B*C*D* и находящаяся на минимальном расстоянии от точки утопии, должна принадлежать отрезку C*D*. Обозначим её через ( , ). Для отыскания её координат воспользуемся способом, описанным в замечании 2. Согласно этому способу, нужно минимизировать функцию расстояния между точкой ( , ) и точкой U :

→ min,

или

→ min.

Составим уравнение прямой C*D* (подробности см. в примере 1). Имеем

, или + =4.

Точка принадлежит множеству точек отрезка C*D*. Следовательно, её координаты удовлетворяют уравнению прямой C*D*: + =4, или Это означает, что минимизируется функция на отрезке . Вычисляем производную и находим стационарную точку: Легко видеть, что < 0 на промежутке и > 0 на промежутке . Следовательно, — точка минимума функции на отрезке , а — точка минимума функции = в замкнутой области, определяемой неравенствами и , при этом = . Заметим, что в исходной задаче точке соответствует точка .

Соответствующие значения найдём из системы линейных уравнений

Имеем

Таким образом, Парето-оптимальное решение достигается при При этом идеальная точка находится от точки утопии на расстоянии .

II-1. 5. Пример решения экономической задачи с двумя критериями эффективности

В качестве примера рассмотрим конкретную задачу из практики действующего предприятия (задачу регионального уровня).

Задача II.1. ОАО «Мукомольный завод «Балашовский» реализует хлебопекарную муку высшего сорта двумя способами: через сеть магазинов и через прямые поставки по договорам неторговым организациям. Известно, что ежемесячно магазины могут реализовать не более 50 тысяч, а ежемесячные поставки неторговым организациям не должны превышать 35 тысяч тонн муки. Для продажи в каждом месяце выделяется не более 45 тысяч тонн муки. Предприятие выработало определённую политику в области ценообразования, которой собиралось следовать. Однако, в связи с сильно изменившейся экономической ситуацией, затраты на реализацию увеличились, а мука вошла в перечень продуктов, которые должны продаваться по ранее установленной цене, регулируемой местной властью. При продаже одной тонны муки через магазины расходы на реализацию стали составлять 7 тысяч рублей, а цена осталась прежней — 10 тысяч рублей; при втором способе реализации расходы и цена составили 4 и 6 тысяч рублей соответственно. Необходимо определить, сколько тонн муки следует продавать каждым способом, чтобы расходы были минимальными, а выручка от продажи — максимальной.

Решение. Составим математическую модель задачи.

Пусть и — объёмы (тысячи тонн) реализуемой в ноябре хлебопекарной муки высшего сорта через сеть магазинов и через прямые поставки по договорам неторговым организациям соответственно.

Тогда целевые функции имеют вид:

= → min;

= → max

при ограничениях:

Введём функцию = . Тогда исходная задача преобразуется в задачу максимизации

= → max:

= → max.

Ограничительные условия остаются прежними. Они определяют на плоскости многоугольник ABCD (рис. 9), который функции и переводят в многоугольник A*B*C*D* плоскости :

A(0; 0) → A*(0; 0), B(0; 35) → B*(-175; 280), C(10; 35) → C*(-245;380), D(45; 0) → D*(-315;450) (рис.10).

Рис.9. ОДР на плоскости

Рис. 10. Геометрическая интерпретация задачи максимизации, соответствующей задаче 1.

Множество Парето образуют точки ломаной A*B*C*D*. Выбираем комбинацию наилучших значений всех критериев. В данном случае это — точка U с координатами . Необходимо найти во множестве Парето точку, расположенную ближе всех к точке утопии U. Обозначим её через ( , ). Для отыскания координат указанной точки минимизируем функцию расстояния между точкой ( , ) и точкой U :

→ min,

или

→ min.

Из рис.9 видно, что искомая точка находится на отрезке B*C*.

Составим уравнение прямой B*C*. Имеем

, или .

Точка принадлежит множеству точек отрезка B*C*. Следовательно, её координаты удовлетворяют уравнению прямой B*C*: + =210, или . Это означает, что на отрезке минимизируется функция . Вычисляем производную и находим стационарную точку: . Из того, что < 0 на промежутке [-245; ) и > 0 на промежутке ( ; -175], следует: — точка минимума функции на отрезке . Тогда — искомая точка, что соответствует точке в исходной задаче.

Соответствующие значения найдём из системы линейных уравнений

Имеем

Таким образом, объёмы реализации хлебопекарной муки высшего сорта ОАО «Мукомольный завод «Балашовский» должны составить: 3,19 тысяч тонн через сеть магазинов и 35 тысяч тонн через прямые поставки по договорам неторговым организациям. При таких способах и объёмах реализации расходы будут минимальными (составят 197,32 тысячи рублей), а выручка — максимальной (составит 311,88 тысяч рублей).

II-1. 6. Применение симплексного метода при решении многокритериальных задач

Математическая модель каждой из таких задач имеет несколько целевых функций, что, как уже отмечалось, требует применения более гибких математических методов их решения. Например, многокритериальную модель, содержащую несколько задач с весовыми коэффициентами предпочтения, можно рассматривать как частный случай задач в условиях неопределённости. Если же вопроса о приоритетах не касаться, ограничившись рассмотрением задач с несколькими критериями, считая их равноправными, то можно предложить следующий способ решения.

Сначала сформулируем задачу:

L1(X) = max,

L2(X) = min

при ограничениях:

,

xj 0 для i= , j= ,

Теперь опишем один из возможных методов её решения.

Решают задачу

L1(X)= max,

при тех же ограничениях, что и у исходной задачи.

Решают задачу

L2(X)= min,

оставляя ограничения неизменными.

Решают задачу

L=xn+1 min

при ограничениях:

xj 0 для i= , j= .

На каждом из этапов применяют симплексный метод.

Алгоритм нахождения эффективного решения задач, имеющих более двух целевых функций аналогичен.

В качестве примера рассмотрим задачу, состоящую в определении оптимального выпуска продукции.

Задача II.2. АООТ “Прицеп” выпускает 4,5-тонные прицепы и кормораздатчики “Ванюша” по цене 40,3 и 74,3 тысяч рублей соответственно. По результатам маркетинговых испытаний спрос на изделия первого вида не менее 1200 штук в год. Для производства прицепов используются сталь и чугун, запасы которых на предприятии составляют 25000 и 4500 тонн соответственно. Для изготовления одной тысячи прицепов норма расхода стали составляет 1615 тонн, а чугуна — 385 тонн. Для изготовления одной тысячи кормораздатчиков расходуется: стали — 2022 тонн, чугуна — 478 тонн. Себестоимость прицепов — 34,66, а кормораздатчиков — 63,9 тысяч рублей. Составить годовой план производства прицепов и кормораздатчиков, такой, чтобы количество выпускаемых изделий и выручка от их реализации были максимальными, а себестоимость — минимальной.

Решение. Обозначим через x1 – количество прицепов, тыс. шт.; x2 –количество кормораздатчиков, тыс. шт., выпускаемых АООТ “Прицеп” в год.

Математическая модель задачи будет иметь вид

L1 = x1 + x2 max,

L2 = 40,3x1 +74,3x2 max,

L3 = 34,66x1 + 63,9x2 min

при ограничениях:

x1 0, x2 0,

Применяя симплексный метод, решим задачу по каждой целевой функции в отдельности. Получим

X1 опт = (11,688, 0), X2 опт = (1,2, 8,448), X3 опт = (1,2, 0),

L1 max = 11,688, L2 max = 676,0464, L3 min = 41,592.

Математическая модель задачи нахождения эффективного решения в канонической форме имеет вид:

L= x3 min

при ограничениях:

xj 0, j=

Получим Xэффект = (1,2; 0,564). Таким образом, АООТ “Прицеп” целесообразно выпускать 1200 прицепов и 564 кормораздатчика ежегодно. При таком плане производства количество изделий и выручка от их реализации будут максимальными (составят 1764 единиц и 90,096 млн. руб. соответственно), а себестоимось — минимальной (составит 77,6316 млн. руб.).

ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ПАРЕТО-ОПТИМАЛЬНОГО МНОЖЕСТВА: построение кривой достижимости охвата по различным категориям телеаудитории

Агентство занимается размещением рекламы на телевизионных каналах. Клиент компании заинтересован в максимизации числа просмотренной аудиторией рекламы, причем вся аудитория разделена на две группы — мужчин и женщин. Агентство имеет на выбор шесть видов передач для размещения в них рекламы; заметим, что одни и те же передачи пользуются разной популярностью у мужчин и женщин — это отражено в табл. 5 и 6.

Количество просмотренной рекламы по каждой из двух групп аудитории описывается нелинейной функцией — квадратным корнем из числа размещенной рекламы. Например, если пять роли­ков разместить среди спортивных передач, то этим мы достигнем млн. просмотров, но только млн. просмотров женщинами.

Отметим, что квадратный корень подразумевает эффект умень­шающейся отдачи, т. е. от каждого дополнительно размещенного рекламного ролика мы получаем меньший эффект, чем от преды­дущего ролика этого же типа.

Существует ограничение на минимальное и максимальное число рекламных роликов, размещенных на одном канале; цена на рек­ламу также варьируется в зависимости от канала. Имея в распоряжении бюджет 1 500 000 руб., найти кривую, отра­жающую изменение числа просмотров рекламы среди мужчин при изменении числа просмотров рекламы среди женщин.

Таблица 5. Количество просмотров в млн. телезрителей

	Спорт	Развле­катель­ные	Новости	Комедии	Остросю­жетное о	Многосе­рийное кино
Муж.	15	3	7	7	8	1
Жен.	5	5	6	10	9	4

Таблица 6. Цена роликов и ограничения по количеству

	Спорт	Развле­катель­ные	Новости	Коме­дии	Остро­сюжетное кино	Много­серийное кино
Цена (1000 руб.)	120	40	50	40	60	20
Мин. роликов	2	0	2	0	2	0
Макс. роликов	10	5	10	5	10	5

Решение

Задание переменных, ограничений и целевой функции.

Введем переменные и выпишем соответствующие им ограничения.

За примем количество рекламных роликов, размещенных на каждом из шести каналов соответственно. Эти значения ограничены сверху и снизу:

Теперь определим целевую функцию. Поскольку нас интересует не максимум просмотров рекламы вообще, а то, как изменяется число про­смотров рекламы в одной из групп при изменении количества просмотров в другой группе, то целевая функция будет задана не для мужчин и жен­щин вместе, а по отдельности (например, будем максимизировать число просмотров рекламы среди мужчин, игнорируя при этом число просмот­ров среди женщин, и наоборот). Как уже было отмечено в условии, число просмотров рекламы по группе есть произведение коэффициентов заин­тересованности в передаче на корень квадратный из числа рекламных ро­ликов, размещенных на канале. Значит, целевая функция примет вид:

(для мужчин)

или

(для женщин).

Следует ввести ограничение на бюджетные расходы (для удобства мы сократили «лишние» нули):

Построение модели.

Разместим данные в таблицах Excel (Рис. 9).

Рис. 9. Введены исходные данные.

Изменяемые ячейки – B12:G12. В эти ячейки в результате решения задачи будут записаны оптимальные значения количества рекламных роликов .

Ввод зависимости для целевой функции. Для вычисления значения целевой функции вначале — максимизация количества рекламы, просмотренной мужской аудиторией зададим формулой

=СУММПРИЗВ(B3:G3,B13:G13) и разместим в H13.

В ячейке H13 введена формула для вычисления значения целевой функции (рис. 10.).

Количество рекламы, просмотренное женской аудиторией при мак­симальном значении целевой ячейки (H13), зададим фор­мулой =СУММПРОИЗВ(B4:G4, B15:G15) и поместим в H15.

Ограничения на бюджетные затраты, расположенные в H14, зададим формулой =СУММПРОИЗВ(B7:G7,B12:G12) и запишем максимально возможное количество затрат (1500 руб.) в I14. Введены формулы для вычисления ограничений. (Рис.10).

Ограничения на минимальное и максимальное число рекламных роликов, размещенных на одном канале, введем непосредственно в диалоговом окне Поиск решения $B12:$G12≤ $B9:$G9 и $B12:$G12≥$B8:$G8 (рис. 11).

Рис. 10. Общий вид модели оптимизации медиа-плана (нелинейная модель).

Полученная модель примет вид, показанный на рис.11.

Рис. 11.

Введем также ограничение на минимальное количество рекламы, просмотренной женщинами (смысл этого ограничения будет удобнее разъяснить в процессе решения), поместив его в I15 (пока эта ячейка пуста).

Полученная модель примет вид, показанный на рис. 12.

Рис. 12. Параметры и ограничения для задачи с ограничением на просмотры среди женщин.

Будем изменять значение ячейки I15 в пределах от 79,385 до 89,220 с шагом 1. Все остальные установки Поиска решений оставим неиз­менными (рис. 12).

Спорт	Развлек. каналы	Новости	Комедии	Остросюжетное кино	Сериалы
4.840	1.742	6.071	5.000	5.507	0.774
2.200	1.320	2.464	2.236	2.347	0.880	89.515
						1500	1500
2.200	1.320	2.464	2.236	2.347	0.880	79.386	0

Рис. 13.

После того как мы «пробежим» весь интервал, составим следу­ющую таблицу (рис. 14).

Просмотры среди женщин	Спорт	Развлек. каналы	Новости	Комедии	Остросюжетное кино	Сериалы	Просмотры среди мужчин
79.39	4.84	1.74	6.07	5	5.51	0.77	89.515
80.00	4.71	1.84	6.10	5	5.62	0.93	89.506
81.00	4.50	1.99	6.14	5	5.81	1.22	89.449
82.00	4.28	2.16	6.18	5	6.00	1.55	89.336
83.00	4.05	2.35	6.20	5	6.19	1.95	89.156
84.00	3.80	2.54	6.22	5	6.38	2.42	88.900
85.00	3.54	2.74	6.23	5	6.58	2.97	88.554
86.00	3.26	2.98	6.22	5	6.78	3.60	88.096
87.00	2.96	3.22	6.19	5	6.98	4.36	87.500
88.00	2.60	3.58	6.17	5	7.27	5	86.713
89.00	2.06	4.28	6.21	5	7.86	5	85.478
89.22	2	5	5.39	5	8.18	5	84.934

Рис. 14. Анализ чувствительности просмотров мужчин от просмотров среди женщин

По мере того как мы просматриваем таблицу сверху вниз, замечаем, что востребованным становится все большее число показов рекламы женской аудитории, в ущерб показам рекламы мужчинам. Неудиви­тельно, что соответствующие решения включают большее число рек­ламы, помещенной на каналах, которые в основном смотрят женщины (многосерийное кино, ток-шоу, остросюжетное кино), и меньшее — на каналах новостей и спорта.

Если предположить, что ограничение на максимальное количество размещенной рекламы увеличится, например, в два раза, то наиболь­ший интерес (с точки зрения максимизации просмотров среди жен­щин) представляет реклама, помещенная на канале комедийного кино — размещение здесь относительно недорого и канал ориентирован более на женскую аудиторию, — поэтому можно ожидать, что количество раз­мещенной здесь рекламы резко возрастет.

Основываясь на результатах, собранных в таблице (см. рис. 14), построим график (рис. 15).

Рис. 15. График зависимости просмотров среди мужчин от просмотров среди женщин.