2.4 Математичні моделі динамічних операцій

У моделях ЛДС сукупність структур характеризується трійкою відображень: . У категоріях цих відображень, інваріантних щодо дискретних переходів на множинах , , представлені моделі функціонування ЛДС, за допомогою яких досліджуються задачі керування в структурній і диференціальній динаміці.

У задачах проектування ОНТ багатоцільового функціонування, крім зазначених моделей, можуть бути моделі координації взаємодії ЛДС в складних режимах. У вигляді моделі ОНТ з керованим складом ЛДС можна прийняти дискретну мережу. Для математичного опису процесу керування складом складної системи введено основні операції, що становлять відношення між підсистемами в усіх можливих логічних законах функціонування. Модель взаємодії ОНТ визначається підсистемами , топологією мережі та узагальненими станами підсистем , де v – номер узагальненого стану підсистеми . в даному режимі, .

У загальному випадку система, що моделюється, буде містити систем диференціальних рівнянь, розв’язання яких програмуються I-парами автоматів і дискрет­ною мережею взаємодії автоматів.

Операціями взаємодії підсистем , що утворюють мережу є: кон’юнктивне об’єднання підсистем у групу, що функціонує в груповій динаміці; диз’юнктивне об’єднання підсистем ; диз’юнктивне альтернативне об’єднання підсистем ; дискретний перехід груп підсистем до тотожної (тієї, що не зростає і не спадає) структури; розподіл (скорочування складу) групи взаємодіючих підсистем .

У підсистемах з усіх узагальнених станів виділяються початкове (стартове) і фінальне відповідно до прийнятої аксіоматики ініціальних автоматів , Дві підсистеми і більше можуть функціонувати у взаємодії щодо досягнення фінальних станів утворивши групу підсистем в них .

У категоріях узагальнених станів подані вище операції взаємодії ЛДС мають вигляд:

;

;

; (2.7)

;

,

де – доповнення індексної множин , що визначає повний склад підсистем .

Операції взаємодії (2.7) володіють функціональною повнотою в процесах сіткової динаміки (зростання, суміщення, вибір, нейтральний перехід, розподіл).

Цільове керування складною системою полягає в координації взаємодії підсистем з керованою структурою, для кожної з яких реалізується принцип керування, сформульований вище. Для моделювання процесів функціонував ОНТ достатньо поданого апарату диференціальної, структурної та сіткової динаміки, що допускає коректне математичне «вкладення» цих моделей в ієрархічну структуру. Вкладення диференціальної динаміки в структурну, яке було розглянуто вище, засновано на збудованій аксіоматиці ієрархічної об’єднання двох фундаментальних моделей: динамічної диференціальної системи і логічного автомата.

Для вкладання систем ЛДР в мережані структури необхідно параметризувати операції взаємодії (2.7) за загальним незалежним аргументом ( , що входить до всіх відобра­жень . Розглянемо цей процес. Кожна з операцій (2.7) встановлює логічні відношення для категорії узагальнених станів ЛДС , змістом яких є процес моделювання локально-стаціонарного диференціального рівняння (2.1). У найпростішому випадку моделювання операцію кон’юнктивного об’єднання підсистем у фінальних станах можна виконати в заданий момент часу , тобто при значеннях динамічних станів. Логічні умови утворення групи взаємодіючих підсистем у цьому разі будуть виражені двозначним одномісним однорідним предикатом . У загальному випадку логічні умови виконання операцій (2.7) становлять двозначні багатомісні неоднорідні предикати, в праві частини яких, крім часу , вводяться умови досягнення кожною із підсистем . відповідних цільових підмножин , де , та інші незалеж­ні події . У загальному вигляді для всіх операцій предикати збудовано як відображення

, (2.8)

звідки випливає асинхронний принцип реалізації операцій і сіткової динаміки. Математично цей принцип зводиться до появи ефекту очікування у взаємодіючих підсистемах. Одна із задач оптимізації ОНТ полягає в упорядкуванні пускових режимів ЛДС заради мінімізації загального часу очікування підсистем

, (2.9)

де – час досягнення цільової підмножини найбільш «повільно діючою» підсистемою .

Задача оптимізації ОНТ відноситься до багатокритеріальних, в розв’язанні яких значне місце посідає моделюван­ня.

Рис. 2.4. Загальна схема моделі динамічної операції

Зобразимо математичну модель функціонування ОНТ ка­тегоріями розглянутих вище підсистем (ЛДС) і операцій їх взаємодії (2.7). Математична модель динамічної операції складається із логічної схеми (мережі) і системи ЛДР, проце розв’язання яких формується системою предикат на множині операцій взаємодії (2.7). Логічна схема операції будується на основі технологічної схеми взаємодії підсистем об’єкта ; система предикат математично параметризує операції взаємодії в часі . Отже, логічна схема становить деревовидний граф з шістьма видами вершин.

Висячими вершинами є структурні стани ЛДС , кожному з яких відповідає трійка елементів . Позначимо цю множину через . Іншим п’яти видам вершин відповідають множини . Фрагмент такої моделі зображений на рис. 5.4 (для простоти подано лише «зростаючу» частину операції, що не містить операцій розподілу). Розроблений апарат і збудовані алгоритми аналі­зу динамічних операцій дають змогу дослідити складність реалізації варіантів операцій для екстремальних шляхів і мар­шрутів на графі, виділити всі можливі варіанти операцій, що містяться в заданій логічній схемі, збудувати функціонали якості для оцінки варіантів по досягненню цілей .