1.3 Визначення складної системи

Різноманітні тлумачення дослідниками такого універсального поняття, як «система», спричинили різний аналіз результатів, що подаються, а процеси ускладнення розглянутих задач і систем ще більше збільшують ці розбіжності.

Системний підхід до аналізу прикладів складних систем дає змогу систематизувати усілякі погляди, зберігаючи при цьому цілісність розглядання.

На сьогодні розроблені моделі, що дають можливість поряд із традиційними дослідженнями розглядати так звані структурні зміни системи зі змінюваною керованою структурою, у тому числі процеси створення і деструкції (руйнування).

Поняття складної системи має відображати різноманітні аспекти дійсності. Воно будується поетапно, починаючи з аспекту структури в бік багатоаспектності. Розглянемо ці етапи.

I. Нехай і – множини. Позначимо через множину всіх підмножин множин . Нехай  – множина таких пар відображень і з у , що =, = при .

На множині  відношення між парами, і таке:

для будь–яких . При цьому є відношенням еквівалентності. Будь–який елемент фактор–множиною /R і називається структурою на . Для пари позначимо

(1.1)

Можна переконатися, що клас пари являє собою множину пар , де для будь–якого , а пробігає множину всіх ін’єкцій множини у .

Будемо називати системою над пару , де – структура на . У більшості випадків система визначається як мережа пов’язаних елементів. Множину назвемо множиною елементів системи – структурою системи. Для позначимо – вхід, – множина внутрішніх зв’язків, – вихід, – множина зв’язків системи . Для будь–якого множина є входом, множина – виходом елемента .

Нехай – система, . Структуру і систему назвемо:

• однозначною, якщо = 0 або 1,

= 0 або 1,

= 0 або 1 для будь–яких ;

• замкненою, якщо ;

• зв’язною, якщо для будь–яких існує така послідовність , , елементів із , що і , .

Як видно, ці дані визначення коректні.

Нехай і – системи над множиною ; – відображення в , , ; – таке відображення множини в множину , що для будь–якого .

Пару назвемо морфізмом системи в систему . Можна показати, що визначені в такий спосіб системи і їх морфізми систем утворять категорію.

Нехай – система, . Нехай (звуження функції на ), , тоді пара визначає структуру на , що називається індукованою структурою. Підсистему системи позначимо через .

Припустимо, що на множині задане відношення еквівалентності , що визначать розбивку , множини . Тим самим визначена сім’я підсистем , де . Позначимо через вхід, множину внутрішніх зв’язків, вихід підсистеми . Зафіксуємо , якщо . Нехай , якщо  і , якщо . Аналогічно , якщо , і , якщо , .

Отже визначені відображення і множини в , що визначають структуру на , називану фактор–структурою структури по . Систему називаємо фактор–системою системи по . З фактор–системою можна асоціювати однозначну систему , що подає архітектуру системи за відношенням еквівалентності . Можна сказати, що в класі систем визначені звичайні математичні конструкції.

Побудова складних систем (у загальнонауковому розумінні) відбивається у відношенні «частина–ціле». Формально – це відношення між системою і її фактор–системою.

Нехай – система. Її будовою називатимемо пару скінченних послідовностей і , де – система для будь–якого , причому – тривіальна система, у якої – морфізм (епіморфізм) системи на , . Якщо , а і , то називається частиною елемента .

Взагалі, – множина частин елемента .

Використовуючи поняття побудови, можна ввести ієрархічні системи, визначити складність побудови системи.

Далі визначимо поняття функціонування системи.

ІІ. Нехай – система, – множина зв’язків . Вважатимемо, що для будь–якого визначена множина сигналів, що можуть проходити зв’язком . Нехай . Також вважатимемо, що для кожного елемента визначений оператор , що перетворить вхідний сигнал на вихідний сигнал елемента .

Будемо ствержуватити, що система функціонує з вектором сигналів, якщо задовольняє системі рівнянь

, . (1.2)

Нехай – вхід, – вихід системи . Виражаючиючи (якщо це можливо) через , одержимо , де – оператор, називаний оператором функціонування системи . Позначимо підмножину множини сигналів, що задовольняють (1.2) для будь–яких .

Вважатимемо, що задана множина , названа простором цілей, і відображення , що називається цільовою функцією.

Задано також:

• сім’я множини , називана простором форм сигналів, що відповідають методам їхній визначення;

• підмножини ;

• сім’я функцій , що співвідносять кожному сигналу його форму , отриману за допомогою методу .

Якщо , то будемо ствержувати, що має властивість функціонування, зумовлену парою .

Нехай – функціонуюча система, архітектура якої за деяким відношенням еквівалентності задана так:

, , (1.3)

, , , (1.4)

, . (1.5)

Нехай – канонічний морфізм на . Тоді підсистема називається керованою, а підсистема – керуючою. Множина називається множиною зворотних зв’язків, – власне входом, – керуванням. Сигнали називаються відповідно вхідним сигналом, програмою керування і керуючим впливом.

Спробуємо надати формальний зміст поняттю «розвиток» системи. Системою з керованою структурою (СКС) називатимемо сукупність об’єктів , де – множина елементів, – сім’я структур на . Нехай , а множини визначені так, як і раніше. Множину називатимемо множиною зв’язків, реалізованих у .

Важливим окремим випадком СКС є альтернативні системи, тобто системи, що задовольняють умовам або 1 для будь–яких .

ІІІ. Припустимо, що для будь–якого зв’язку визначене сім’я множин сигналів, що можуть проходити зв’язком . Множина є множиною інтервалів часу функціонування системи . Позначимо . Вважатимемо, що для кожного і визначений оператор , що перетворить вхідний сигнал на вихідний сигнал елемента . Функціонування системи на інтервалі для варіанта структури здійснюється відповідно до системи рівнянь , .

Якщо виразити через , одержимо , де – оператор функціонування системи , наділеної структурою на інтервалі часу .

Вважаємо, що для кожної пари заданий простір часткових цілей і цільової функції .

Задано також простір глобальних цілей і відображення .

Будь–яка функція називається режимом структурних переходів. Нехай – розбиття множини . Пара називається режимом розвитку (еволюції, адаптації) системи .

IV. Опишемо коротко поняття логіко–динамічної системи (ЛДС). Нехай – система, – множина її зв’язків, – множина сигналів, що проходять зв’язком . Для будь–яких позначимо як оператор елемента . Вважатимемо, що для будь–яких і існує символ відмикання зв’язку на інтервалі .

Нехай . Припустимо, що , причому множини і не залежать від , позначаються і називаються відповідно множиною структурних станів і множиною початкових даних елемента . Нехай для будь–якого існує така підмножина , що за будь–яких і вихідний сигнал елемента має властивість для всіх .

Такий елемент називається логіко–динамічним. Якщо, крім того, задане відображення , те – логіко–динамічний елемент із пам’яттю (за початковими даними).

Припустимо, що – система з керованою підсистемою, – керована підсистема, , – власне вхід, – керування, – вихід . Якщо складається з логіко–динамічних елементів із пам’яттю, то називається логіко–динамічною системою. Можна розглядати елементи і без пам’яті, але тоді буде потрібний канал виведення початкових даних .

Нехай

. (1.6)

Для нехай , а

. (1.7)

Тим самим, для будь–якого визначена пара , що задає структуру на , тобто побудована СКС . Ця система називається динамічною частиною ЛДС .

Окремим випадком логіко–динамічного елемента є логічний елемент. Звичайно розглядаються ЛДС, у яких керуюча підсистема складається з логічних елементів, тобто є автоматом.

V. Введені поняття дають змогу дати загальне структурне, функціональне та еволюційне визначення складної системи як сукупності об’єктів

, (1.8)

де – множина елементів; – сім’я структур, реалізованих у ; – сім’я просторів сигналів; – сім’я операторів елементів системи ; – простори цілей; – цільові функції.

При і , кожен із яких складається з єдиного елемента, і , рівному тотожному відображенню на себе, приходимо до структурно–функціональної побудови системи:

, (1.9)

(тут індекси і не враховані).

Розглядаючи тривіальний випадок, коли все , а – порожнє відображення для будь–якого , приходимо до структурного визначення системи: (тут порожні множини і функції не враховані).

VI. Порівняємо наведене тлумачення системи з тим, де динамічна система визначається як сукупність об’єктів:

, (1.10)

де – множина моментів у часу; – множина станів; – множина миттєвих значень вхідних впливів; – множина припустимих вхідних впливів; – множина миттєвих значень вихідних величин; – множина вихідних величин; – перехідна функція стану; – вихідне відображення.

Вважається, що для зазначених об’єктів виконано визначені співвідношення – аксіоми системи .

Розглянемо систему з керованою структурою і характером функціонування .

Нехай – множина елементів, що складається з одного елемента ; – множина номерів зв’язків; – структура на , визначена парою , де , – множина початкових часів; – множина початкових станів; – множина припустимих вхідних величин; – множина функцій , що визначають зміни стану системи з часом; – оператор елемента .

Нехай . Тоді є функція , що визначається рівняннями , де ; – множина вихідних величин; – цільова функція. При цьому є функцією , що визначається рівністю

, де . (1.11)

Тим самим визначена така система:

. (1.12)

Функціонування системи визначається сигналом , що задовольняє систему (1.2), тобто , . Тут , де . Оскільки і – функції, то .

Отже, характер функціонування системи збігається з функціонуванням системи . При цьому має найпростіший вигляд, у якому не відображена її структура, а також структурні переходи. Виходить, введене поняття системи є більш загальним, чим поняття динамічної системи, у якому відбитий тільки аспект функціонування.

Загальне поняття системи відображає один з аспектів (забезпечення) реальних, складних технічних, технологічних (організаційно–технічних) систем, або всі аспекти відразу. Зазвичай системи містять множини різних аспектів. При цьому кожен аспект може бути поданий деякою системою (підсистемою), забезпеченням (система цілей, логічна схема задач, логічна схема алгоритму, організація як система, технічні засоби як система і т.д.), що також пов’язані між собою.

Поняття побудови системи – перший крок у відображенні подібної багатоаспектності під час опису складних систем. Узагальнене ж поняття систем, у якому достатньою мірою реалізована зазначена багатоаспектність, рекомендується системною моделлю, окремі рівні якої також є системами [5].