4 Приклади об’єктів дослідження методами моделювання

При дослідженні фізичних процесів, вирішенні різних прикладних задач, як правило, не вдається безпосередньо знайти закони, що зв’язують величини, що характеризують досліджувані явища. Зазвичай легше встановлюються залежності між тими ж величинами та їх похідними або диференціалами. Співвідношення такого роду і називаються диференціальними рівняннями.

Розв’язок задачі дослідження фізичного явища можна розділити на два етапи:

1. Складання диференціального рівняння, яке при певних припущеннях описує сутність даного явища.

2. Знаходження рішення диференціального рівняння, тобто функціональної залежності між величинами, що характеризують досліджуване фізичне явище.

Можливості та правила складання диференціальних рівнянь визначаються знанням законів тієї галузі науки, з якою пов’язана природа досліджуваної задачі. Так, наприклад, в механіці можуть використовуватися закони Ньютона, в теорії електричних ланцюгів – закони Кірхгофа, в теорії швидкостей хімічних реакцій – закон дії мас і так далі. Однак на практиці часто зустрічаються випадки, коли закони, які могли б дозволити скласти диференціальне рівняння, невідомі. Тоді вдаються до різних припущень, що стосуються перебігу процесу при малих змінах параметрів-змінних. До диференціальних рівнянь в такому випадку призводить граничний перехід. Питання відповідності математичної моделі і реального явища вирішується на основі аналізу результатів дослідів і порівняння їх з поведінкою рішення отриманого диференціального рівняння.

Для знаходження рішення рівнянь застосовуються аналітичні та чисельні методи. Аналітичні методи дозволяють знайти точне рішення задачі, але лише для обмеженого класу диференціальних рівнянь. За допомогою чисельних методів отримують наближені рішення, але для значно більш широкого кола проблем.

Розглянемо ряд прикладів, що ілюструють процес складання диференціальних рівнянь.

Приклад 1. Розглянемо електричну схему із заданим опором R і ємністю С (рис. 4.1). У початковий момент часу ємність не заряджена. Потрібно скласти диференціальне рівняння, що описує зміну напруги на конденсаторі після замикання ключа за умови дії джерела з постійною напругою Е.

Рис. 4.1.

Розв’язання. Запишемо рівняння другого закону Кірхгофа та початкову умову:

Використовуючи рівність отримуємо

(4.1)

Рівняння (4.1) пов’язує незалежну змінну t, шукану функцію і її першу похідну Це диференціальне рівняння першого порядку. Розв’язок рівняння – бажана функція – повинна задовольняти диференціальне рівняння (обертати його в тотожність) і початкову умову .

Приклад 2. Для схеми (рис. 4.2) з відомими параметрами C, R, r скласти диференціальне рівняння, що описує зміну вихідної напруги від часу при відомому законі зміни вхідної напруги .

Рис. 4.2.

Розв’язання. Запишемо перший і другий закони Кірхгофа:

Звідси

або

(4.2)

Як і в попередньому прикладі, отримано співвідношення, в яке входять шукана функція і її перша похідна Рівняння (4.2) є диференціальним рівнянням першого порядку.

Приклад 3. Вантаж масою m з’єднаний пружинами жорсткості k зі стінками контейнера, заповненого рідиною з коефіцієнтом в’язкого тертя (рис. 4.3). Потрібно отримати диференціальне рівняння, що описує переміщення вантажу з положення рівноваги (стану спокою) вздовж осі Ох, якщо контейнер рухається з прискоренням a(t).

Рис. 4.3.

Розв’язання. Запишемо другий закон Ньютона, який в даному випадку має вид

де – сила інерції, – сила опору пружини, обумовлена законом Гука, – сила в’язкого тертя. Звідси

(4.3)

Станом спокою, з якого починається рух вантажу, відповідають нульові початкові умови:

Рівняння (4.3) пов’язує незалежну змінну t, шукану функцію x(t) і її першу і другу похідні. Це диференціальне рівняння другого порядку. При а(t) = 0 отримуємо рівняння вільних коливань:

(4.4)

Якщо, крім того, припустити, що (в’язке тертя відсутнє), то отримаємо рівняння

(4.5)

що описує вільні коливання в середовищі без опору.

Приклад 4. Скласти диференціальне рівняння, що описує рух тіла маси m, кинутого в момент часу t = 0 вертикально вгору з положення зі швидкістю , під дією сили тяжіння.

Розв’язання. Запишемо другий закон Ньютона у проекції на вертикальну вісь:

Звідси

(4.6)

Як і (4.5), рівняння (4.6) є диференціальним рівнянням другого порядку.

Приклад 5. Розглянемо схему з відомими параметрами R, L, C і заданим законом зміни напруги e(t) (рис. 4.4). У початковий момент струм в ланцюзі відсутній, а ємність не заряджена. Потрібно скласти диференціальне рівняння, що описує зміну напруги на конденсаторі.

Рис. 4.4.

Розв’язання. Запишемо рівняння другого закону Кірхгофа, які в даному випадку мають вигляд

, , , .

Звідси

(4.7)

Рівняння (4.7) пов’язує незалежну змінну t, шукану функцію та її першу і другу похідні. Це диференціальне рівняння другого порядку.

Якщо представити вихідні рівняння другого закону Кірхгофа у вигляді

(4.8)

то виходить система двох диференціальних рівнянь першого порядку щодо невідомих функцій , з нульовими початковими умовами.

Для розглянутих найпростіших завдань, взятих з різних областей знань, спільним є те, що шукана функція повинна бути визначена зі співвідношень, в які крім неї входять ще і її похідні, тобто з диференціальних рівнянь.

Численні диференціальні рівняння, що зустрічаються на практиці, можуть бути розділені на декілька типів, для кожного з яких в даний час розвинена своя теорія.

Фізичні процеси, які можуть бути описані диференціальними рівняннями, дуже різноманітні і часто зустрічаються в практичній діяльності. Величини, що характеризують такі процеси, як правило, змінюються з часом, тому, якщо не обмовляється особливо, будемо інтерпретувати незалежну змінну t як час.

Будемо позначати незалежну змінну буквою t, невідомі функції . А похідні функції – . Також вживаються позначення:

Аналіз прикладів 1–5 призводить до поняття одновимірних динамічних систем, що описуються одним диференціальним рівнянням, що характеризує поведінку вихідного сигналу в залежності від зміни вхідного додала (рис. 4.5), а також багатовимірних динамічних систем, що описуються системою диференціальних рівнянь, де сумарне число вхідних і вихідних сигналів більше двох (рис. 4.6).

Рис. 4.5.

Рис. 4.6.

Зауважимо, що в прикладі 1 ; в прикладі 2 ; в прикладі 3 ; в прикладі 4 ; прикладі 5 .

Таким чином, всі розглянуті системи містять вхідний сигнал, диференціальне рівняння, що описують систему, і вихідний сигнал. Ці складові утворюють повну математичну модель одномірної динамічної системи.

Узагальненнями рівняння (4.1) можуть служити рівняння виду

(4.9)

де Т – постійна часу. У прикладі 1 ця постійна визначається параметрами електричного кола: Т = RС.

Відповідно рівняння (4.3) і (4.7) призводять до рівнянь

(4.10)

де – коефіцієнт демпфування. Так, в прикладі 3: , ; в прикладі 5: , .

Моделі багатовимірних динамічних систем зазвичай складаються з двох блоків: моделі об’єкта і моделі вимірювань. Модель об’єкта, як правило, описується системою ОДУ щодо n координат так званого вектора стану , що повністю характеризує її поведінку. Модель вимірювань пов’язує вектор стану з вектором виходу (в разі детермінованих систем цей зв’язок задається алгебраїчними співвідношеннями). У більшості практичних задач вимірювання дають неповну інформацію про стан системи, однак, саме з цієї інформації приймаються рішення про якість системи. Кожна компонента вхідного векторного сигналу в загальному випадку впливає на всі координати вектора стану X і вектора виходу .

Повертаючись до прикладу 5, можна пояснити його результати з точки зору багатовимірних систем. В даному випадку багатовимірна система описується системою диференціальних рівнянь (4.8), вхідний сигнал , вектор стану двовимірний: , вектор виходу одночасно є вектором стану. Така ситуація типова для систем з повною інформацією про стан.

Припускаючи далі, що розглядається диференціальне рівняння або система описує конкретну динамічну систему, виділимо наступні завдання аналізу, які вирішуються на етапі проектування:

• аналіз вихідних процесів (для вирішення цього завдання необхідно по вхідному сигналу і опису системи знайти вихідний сигнал);

• аналіз стійкості (вивчається здатність системи повертатися у вихідний або близький до нього сталий режим з різних початкових станів);

• аналіз чутливості (досліджується вплив зміни параметрів системи на її поведінку);

• аналіз керованості (вивчається здатність системи переходити із заданого початкового стану в заданий кінцевий під дією вхідного сигналу, що характеризує в даному випадку керуючий вплив);

• аналіз спостережливості (досліджується можливість відновити інформацію про стан системи за наявними вимірам) [2].

5 ПРИНЦИПИ І МЕТОДИ ПОБУДОВИ МОДЕЛЕЙ

5.1 Вимоги до моделей.

5.2 Способи побудови моделей та задачі моделювання.

5.3 Методи моделювання.

5.4 Принципи побудови моделей.

5.5 Технологія моделювання.

5.6 Системний підхід до побудови моделей.

5.1 Вимоги до моделей

У загальному випадку під час побудови моделі потрібно враховувати такі вимоги:

• незалежність результатів розв’язання задач від конкретної фізичної інтер­претації елементів моделі;

• змістовність, тобто здатність моделі відображати істотні риси і властивості реального процесу, який вивчається і моделюється;

• дедуктивність, тобто можливість конструктивного використання моделі для отримання результату;

• індуктивність – вивчення причин і наслідків, від окремого до загального, з метою накопичення необхідних знань.

Оскільки модель створюється для вирішення конкретних завдань, розробник моделі має бути впевненим, що не отримає абсурдних результатів, а всі одержані результати відображатимуть необхідні для дослідника характеристики та власти­вості модельованої системи. Модель повинна дати можливість знайти відповіді на певні запитання, наприклад: «що буде, якщо ...», оскільки вони є найбільш до­цільними під час глибокого вивчення проблеми. Не варто забувати, що системні аналітики використовують модель для прийняття рішень і пошуку найкращих способів створення модельованої системи або її модернізації. Завжди потрібно пам’ятати, що користувачем інформації, отриманої за допомогою моделі, є замов­ник. Недоцільно розробляти модель, якщо її не можна буде використовувати. Більш того, робота з моделлю має бути автоматизованою для замовника до такого ступеня, щоб він міг працювати з нею в межах своєї предметної області. Таким чином, між моделлю і користувачем повинен бути розвинутий інтерфейс, який звичайно створюється за допомогою системи меню, налагодженої на застосуван­ня моделі в певній галузі.

Ступінь деталізації моделі потрібно вибирати з огляду на цілі моделювання, можливості отримання необхідних вхідних даних для моделі та з урахуванням наявних ресурсів для її створення. Відсутність кваліфікованих фахівців може звести роботи зі створення моделі нанівець. З іншого боку, чим детальніше розроб­лено модель, тим вона стійкіша до вхідних впливів, які не були передбачені під час проектування, і на більшу кількість запитань може дати правильні відповіді [4].