Науково-методичні основи розвитку математичного мислення і мовлення молодших школярів у процесі розв'язування деяких типів складених задач

Проблема розвитку мислення школярів у процесі вивчення ними різних навчальних предметів завжди була актуальною в психолого-педагогічних науках, але і досі її розв'язання є незавершеним, оскільки загальний рівень розвитку мислення молодших школярів залишається надто низьким, а сам процес мислення, яке виражається в їх мовленні, - надто примітивним.

Як навчити школярів мислити? Як сформувати в них культуру мислення і мовлення в процесі навчання їх математики, зокрема в процесі розв'язування складених задач? На жаль, в психолого-педагогічній літературі, яка стосується результатів дослідження проблеми мислення, немає чітких науково обґрунтованих рекомендацій щодо методики формування математичного мислення і мовлення. Справді, в психологічній науці є ряд досліджень (Виготського Л.І., Костюка Г.С., Рубінштейна С Д, Косми Т.В., Шардакова М.М. і ін), які стосуються особливостей мислення дітей дошкільного та шкільного віку, структури мислительних операцій, їх взаємозв'язків, але всі вони мають загальнопсихологічний характер і не торкаються питань методики навчання і розвитку мислення і мовлення молодших школярів в процесі розв'язування складених задач та питань формування культури математичного мислення.

Спираючись на загальні положення психологічної науки щодо мислення як психічної функції, ми розробили методику формування культури математичного мислення і мовлення молодших школярів при навчанні їх розв'язувати задачі. Запроваджуючи поняття "культура математичного мислення", ми вкладаємо в нього зміст, який охоплює перш за все такі ознаки: розумність, логічність, дисциплінованість і гнучкість.

Розумність мислення взагалі, на наш погляд, - це найвищий ступінь мислення, це здатність розглядати предмети чи явища з усіх сторін, знаходити їх сутність, виявляти їх причини та наслідки, встановлювати зв'язки між ними.

Розумність математичного мислення - це вміння оперувати математичними поняттями, досліджувати і виявляти їх властивості, встановлювати родо-видові зв'язки між ними, встановлювати і обґрунтовувати відношення і залежність між числовими і абстрактними характеристиками їх, запроваджувати символи для позначення певних понять, ознак або числових характеристик, виражати ці зв'язки та відношення символічними (числовими чи буквеними) формулами.

Другою ознакою культурного математичного мислення ми вважаємо його логічність. Мислення, яке відбувається у повній відповідності із законами логіки, є логічним, а отже культурним. Звичайно, молодші школярі не знають законів логіки, але під час навчання їх учитель повинен наголошувати на особливості формулювання думок словами, на правильне вживання термінів, тобто на відповідність термінів об'єктам чи явищам, властивостям чи числовим характеристикам, на взаємозв'язок суджень (речень), які висловлюються стосовно якогось об'єкта чи явища, на послідовність думок та суджень за змістом, на неперервність взаємозв'язаних думок і т.ін. Власне саме ці всі вимоги найбільш вдало можна виконати під час навчання учнів розв'язувати складені задачі, що й забезпечує успішне досягнення логічності в мисленні.

Дисциплінованість мислення слід розуміти як необхідність, обов'язковість виконання певних мислительних операцій стосовно деякого поняття, явища, величини тощо. Дисциплінованістю математичного мислення ми називаємо вимогу: перш ніж формулювати якесь положення відносно деякого поняття або явища, чи назвати дію при розв'язуванні задачі, конче необхідно охарактеризувати це поняття чи явище, відтворити всю інформацію, зв'язану з ним, здобуту на попередніх етапах навчання, і виділити ті положення, які необхідні в даній ситуації, чи ті, які є причиною для отримання певного наслідку або ж обґрунтувати зв'язки між величинами, які вимагають виконання дії. Дисциплінованість математичного мислення вимагає проговорювання вголос загальних відомих положень, які стосуються розглядування об'єктів і явищ, диференціювання їх залежно від ситуації чи зв'язків і іншими поняттями, предметами і величинами та формулювання гіпотетичних висновків-гіпотез, які приводять до необхідного, іноді передбачуваного результату.

Гнучкістю математичного мислення називаємо вміння школярів швидко встановлювати зв'язки між однією групою предметів, явищ чи величин, а потім так само швидко здійснювати перехід до встановлення зв'язків чи відношень між іншою групою величин, об'єктів або явищ, і нарешті, вміння серед виявлених різних зв'язків відібрати саме ті, які необхідні в конкретній даній ситуації.

Вчитель в процесі роботи з навчальним матеріалом під час викладу знань чи розв'язування задач повинен демонструвати саме ці вищеназвані якості мислення, подавати зразки міркувань, наголошуючи, що кожен учень повинен прагнути під час відповідей чи під час розв'язування кожної задачі висловлювати свої думки вголос так, як вчитель, або й ще краще, що свідчитиме про культуру їхнього мислення, тобто про його розумність, логічність, дисциплінованість і гнучкість.

Раніше ("Нова педагогічна думка", №4,1998) було розглянуто науково-методичні основи розвитку математичного мислення і мовлення молодших школярів у процесі розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного. Розглянемо сформульовану проблему в процесі роботи над задачами на пропорційний поділ, на знаходження значень величини за двома різницями та на складне правило трьох. Як показує досвід, ці типи складених задач вчителі вважають найскладнішими за своєю структурою, а тому в процесі засвоєння учнями способів їх розв'язування виникає ряд труднощів як в учнів, так і у вчителів.

Адже не секрет, що вчителі майже не володіють досконалою методикою научування школярів розв'язувати задачі, яка передбачає не тільки механічне виконання дій для знаходження розв'язку (відповіді на запитання) задачі, але й інтелектуальний розвиток дитини, тобто розвиток її мислення і мовлення, розвиток вміння застосовувати набуті математичні знання як метод пізнання навколишньої дійсності, як засіб розв'язування завдань практичного характеру.

Задачі на пропорційний поділ

Задачі на пропорційний поділ становлять велику групу складених задач на зв'язки між пропорційними величинами, яка розглядається в третьому та четвертому класах чотирирічної початкової школи. Ознайомлення школярів із способами розв'язування задач цього типу відбувається після засвоєння ними залежностей між пропорційними величинами таких груп: ціна, кількість, вартість; швидкість, час, відстань; продуктивність праці, час, виконана робота; і інших та після розв'язування простих задач на зв'язки між ними. Після цього розглядаються складені задачі на знаходження четвертого пропорційного (див. "Нова педагогічна думка" №4, 1998), які є підготовчими вправами до розв'язування задач на пропорційний поділ. Вперше із цими задачами передбачається ознайомити учнів третього класу чотирирічної початкової школи, але їх кількість в підручнику незначна (наприклад, №1011 і №1020 у підручнику "математика" 3(2) М.В.Богдановича). Пізніше, у четвертому класі, передбачено докладніший розгляд задач на пропорційний поділ. Але, на жаль, і в цьому підручнику задачі цього типу не згруповані в єдину цілісну систему, а зустрічаються протягом більше двадцяти окремих уроків, на яких передбачено розгляд однієї-двох задач, робота над якими має забезпечити засвоєння учнями способів їх розв'язування. Звичайно, було б раціональнішим розглядати ці задачі в системі взаємопов'язаних уроків. Але навіть при такому недосконалому програмному розподілі та при недосконалій структурі діючого підручника з математики при правильному науково-методичному підході до роботи над задачами названого типу можна добитися успішного оволодіння _ учнями способів розв'язування цих задач. Важливо, щоб з перших уроків роботи над задачами на пропорційний поділ вчитель домігся усвідомлення учнями найважливішої ознаки цих задач, а саме: в задачах на пропорційний поділ вимагається значення однієї величини, яка являє собою суму двох шуканих значень цієї величини, поділити (краще розподілити) пропорційно до двох даних значень іншої величини при умові, що значення третьої величини незмінне. Оскільки величини, які характеризують ситуацію в задачі, зв'язані прямо пропорційною чи обернено пропорційною залежністю, то вибір арифметичних дій для знаходження шуканих значень величин обґрунтовується саме виявленою відповідною залежністю.

Розглянемо задачу №1011 з підручника М.В.Богдановича "Математика" 3 (2):

Купили 7 м тканини за 63 грн. Із цієї тканини пошили 2 сукні. На першу сукню витратили 4 м, а на другу 3 м. Скільки коштувала тканина, з якої пошили кожну сукню?

Під час скороченого запису тексту задачі, прочитаного з логічними наголосами, вчитель наголошує, що величини слід розташовувати в таблиці так, щоб добуток значень величин першої та другої колонок дорівнював значенню величини в третій колонці, тобто добуток ціни на кількість дорівнює вартості. В процесі аналізу задачі (розбору змісту) звертає увагу на прямо пропорційну залежність між величинами - ціна, кількість, вартість, - навчає учнів робити прикидку розв'язку: "Очевидно, що вартість кожної сукні залежить від кількості витраченої на неї тканини. Якщо на сукню витрачено більше тканини (4 м), то й коштувала вона більше грошей, а якщо ж витрачено менше тканини (3 м), то й коштувала вона менше грошей". Отже, табличний скорочений запис задачі має вигляд:

	Ціна тканини	Кількість метрів	Вартість тканини
І сукня IІ сукня	однакова	м 7м 3 м	? 63 грн. ?

Процес міркування над пошуком шляху розв'язування задачі повинен бути алгоритмізований незалежно від того, чи застосовується метод бесід чи метод пояснення. Кожне судження, яке виражає зв'язки між величинами і формулюється на відповідному етапі міркування, повинно бути логічним продовженням судження, сформульованого на попередньому етапі. Наведемо зразок міркування вчителя щодо пошуку шляху розв'язування даної задачі:

• Щоб дізнатися, скільки грошей заплатили за тканину на кожну сукню, треба знати ціну 1 м тканини, бо чим більше тканини витратили на сукню, тим більше грошей заплатили.

• Якщо вартість всієї тканини 63 грн., а її кількість - 7 м, то ціну 1 м можна визначити дією ділення вартості На кількість (63:7=9 грн.)

• Якщо ціна 1 м тканини 9 грн., а на першу сукню витратили 4 м, то вартість цих 4 м тканини дорівнює добутку ціни на кількість (9-4=36 грн.).

- Якщо ціна 1 м тканини 9 грн., а на другу сукню витратили 3 м, то вартість їх дорівнює добутку ціни на кількість (9-3=27 грн.). Вартість 3 м тканини, які витратили на другу сукню, можна знайти як різницю всієї вартості тканини та вартості тканини, витраченої на першу сукню, тобто 63-36=27 грн.

Отже, розв'язання має вигляд:

1. 63:7=9 (грн.) - ціна 1 м тканини.

2. 9-4=36 (грн.) - коштувала тканина на І сукню.

3. 9-3=27 (грн.) - коштувала тканина на II сукню.

3 а) 63-36=27 (грн.)

Повторно обґрунтовуючи хід розв'язування задачі, спираючись на таблицю скороченого запису та розв'язання, вчитель словом і жестом переконує учнів, що в даній задачі необхідно було значення (63 грн.) вартості всієї тканини розподілити пропорційно до кількості тканини, витраченої на кожну сукню, так, щоб більшій кількості (4 м) тканини відповідала більша вартість, а меншій кількості

(3 м) - менша вартість. Розв'язання задачі ще раз підтверджує, що значена загальної вартості розподілено пропорційно до двох значень кількості тканин при сталій ціні 1 м тканини.

Аналогічними міркуваннями ведеться робота над задачею №1020 у третьому класі. Наведемо, запис та характеристику задачі.

Задача: Купили 10 однакових ящиків фруктів, всього 150 кг. У 4 ящиках були яблука, а в 6 - груші. Скільки кілограмів яблук і скільки кілограмів груш купили.

	Маса 1 ящика	Кількість ящиків	Загальна маса
Яблука Груші	однакова	4 10 ящ. 6	? 150 кг ?

За скороченим табличним записом тексту задачі навчаємо дітей спостерігати що загальна маса (150 кг) являє собою суму шуканих двох значень – маси яблук та маси груш, а тому співставляється із загальною кількістю ящиків фруктів. На основі цього співставлення можна легко знайти значення третьої величини яка в даній задачі є сталою, тобто масу одного ящика. Далі, спираючись на структуру таблиці, порядок розташування величин, їх значення, вчителі роз'яснює учням і домагається розуміння ними того факту, що в даній задач шукана маса яблук та груш залежить від кількості ящиків, а отже, необхідно загальну масу фруктів (150 кг) розподілити пропорційно до двох значень кількості ящиків (4 і 6) так, щоб меншій кількості ящиків (4) з яблуками відповідала менша маса, а більшій кількості ящиків (6) з грушами відповідала більша маса при умові, що маса усіх ящиків однакова (маса одного ящика стала).

Наведемо зразок бесіди, в якій відображається шлях міркування, на який скеровує вчитель учнів постановкою системи запитань.

• Яка загальна маса фруктів? (150 кг).

• У скількох ящиках міститься 150 кг фруктів? (у 10).

• Що відомо в задачі про ящики з фруктами? (їх маса однакова).

• Якщо маса 10 однакових ящиків дорівнює 150 кг, то як можна дізнатися масу одного такого ящика? (Маса одного ящика в 10 разів менша від маси 10 ящиків, тому її можна знайти дією ділення: 150:10=15 кг.)

• Скільки ящиків було з яблуками ? (4) -

• Якщо маса одного ящика 15 кг, а яблука були в 4-х таких ящиках, то як дізнатися масу яблук? (Дією множення: масу одного ящика помножити на кількість ящиків. 15-4=60 кг.)

• Скільки ящиків було з грушами? (6)

• Яка маса одного ящика з грушами? (Така сама як і ящика з яблуками, тобто 15 кг.) '

• То як дізнатися масу груш? (Треба масу одного ящика - 15 кг помножити на кількість ящиків - 6, тобто 15-6=90 кг.)

• Чи можна масу груш визначити іншим способом (Можна, якщо від загальної маси фруктів - 150 кг відняти масу яблук - 60 кг, то дістанемо масу груш: 150-60=90 кг.)

Отже, розв'язання має вигляд:

1. 150:10= 15 (кг) - маса одного ящика з фруктами.

2. 15-4=60 (кг) - маса яблук.

3. 15-6=90 (кг) - маса груш.

3⁰. 50-60=90 (кг).

Вивчаючи текст кожної задачі, легко помітити, що в них є "зайві", з першого погляду, дані, які є сумами даних значень однієї величини: у першій задачі 7 м, тобто сума кількостей метрів тканини, витраченої, на кожну З двох суконь, а у другій - 10 ящиків, тобто сума кількостей ящиків з яблуками та грушами. Але тут наявність "зайвих" даних в тексті задачі слід вважати спеціальним методичним прийомом, який орієнтує вчителя та учнів на необхідність співставлення двох сум, перша з яких - це сума двох шуканих значень величини, яка дана в тексті задачі, а друга - сума двох даних значень іншої величини, пропорційно до яких розподіляється значення першої величини. Так в задачі №1011 співставляється загальна вартість тканини (63 грн.), яка є сумою шуканих значень вартості тканини, витраченої на кожну сукню, із загальною кількістю тканини (7 м), яка є сумою даних значень кількостей тканини, витраченої на кожну сукню, тобто сумою чисел 4 м і 3 м, пропорційно до яких розподіляється значення загальної вартості тканини (63 грн).

У другій задачі (№1020) загальна маса фруктів (150 кг), яка є сумою шуканих значень маси яблук і маси груш, співставляється із загальною кількістю ящиків (10), яка є сумою даних значень кількостей ящиків з яблуками і грушами (4 і 6), пропорційно до яких розподіляється загальна маса (150 кг). Внаслідок співставлення кожних двох сум дією ділення однієї суми на другу знаходять значення сталої величини (у першій задачі - ціну 1 м тканини, у другій - масу одного ящика фруктів). Легко впевнитись, що при цьому застосовувався спосіб прямого зведення до одиниці, тобто до 1 зводили ту величину, для якої в умові дано два значення (кількість метрів тканини - в першій задачі, а в другій - кількість ящиків).

Отже, першою дією при розв'язанні задач цього типу є дія ділення на рівні частини, яка виражає спосіб прямого зведення до одиниці, а отримана частка є значенням сталої величини. Друга і третя дії у розв'язанні є Діями множення, в яких отримане значення сталої величини множать на кожне з двох Даних значень іншої величини. Але третю дію можна виконати відніманням: від значення величини, яку розподіляють пропорційно до двох даних значень іншої величини, відняти отримане в другій дії одне значення величини.

У четвертому класі задачі на пропорційний поділ дещо ускладнені, і їх розв'язання складається з чотирьох арифметичних дій. У підручнику подано понад 20 задач цього типу, наприклад №995,1029, 1328, 1329 і ін. Розглянемо одну з цих задач і узагальнимо способи їх розв'язування.

Задача №1328. Два загони хлопчиків поділили між собою для догляду 160 дерев. В одному загоні 18 хлопчиків, а в другому 14. Скільки дерев треба закріпити за кожним загоном, щоб кожний хлопчик доглядав однакову кількість дерев?

З самого початку роботи над задачею ( будь-якого типу) слід навчити учнів виконати скорочений запис тексту і за ним визначити тип задачі. Для цього треба назвати всі величини, які характеризують ситуацію, описану в задачі, встановити, що вони зв'язані між собою прямо пропорційною залежністю і розташувати їх в таблиці в такій послідовності, що значення величини в третій колонці таблиці знаходять дією множення відповідних значень величин, розташованих у першій та другій колонках.

Отже, ситуацію в даній задачі характеризують такі величини: кількість дерев, закріплена за одним хлопчиком для догляду; кількість хлопчиків у загонах; загальна кількість дерев, які розподілені для догляду між загонами. Після запису в таблиці значень величин, даних в тексті задачі, таблиця набуває вигляду.

	К-сть дерев на 1 хлопчика	К-сть хлоп, у загоні	Загальна к-сть дерев
I II	однакова	18 14	? 160 ?

Із табличного скороченого запису задачі легко бачити, що в ній вимагається загальну кількість дерев (160) розподілити між двома загонами хлопчиків так, щоб за тим загоном, в якому більша кількість хлопчиків, була закріплена більша кількість дерев для догляду, аза тим за гоном, в якому менша кількість хлопчиків, була закріплена менша кількість дерев. Отже, дана задача на пропорційний поділ загальної кількості дерев між двома загонами залежна від кількості хлопчиків у загоні.

Вчитель, розмірковуючи вголос, навчає учнів виявити зв'язки шуканих значень величини із даними значеннями і правильно вибрати та обґрунтувати арифметичні дії для знаходження проміжних та шуканих значень величин. Міркування. "Кількість дерев, які треба закріпити для догляду за кожним загоном хлопчиків, залежить від кількості дерев, які повинен доглядати один хлопчик, і від кількості хлопчиків. Якщо б помножити кількість дерев, закріплених за одним хлопчиком, на відповідну кіль кість хлопчиків у кожному загоні, то можна б отримати кількість дерев, закріплених за кожним загоном окремо. В умові задачі дано кількість хлопчиків у кожному за гоні, але невідомо скільки дерев закріплено за одним хлопчиком. Отже, спочатку треба знайти і кількість дерев, закріплених за одним хлопчиком, спираючись на те, що "кожний хлопчик доглядав однакову кількість дерев", як сказано в умові. Цю кількість можна знайти, якщо співставити загальну кількість дерев і загальну кількість хлопчиків, які їх доглядають. В цій задачі, на відміну від задач, що розглядались у третьому класі, відсутня сума двох даних значень однієї величини, тобто загальна кількість хлопчиків в обох загонах, але її легко знайти дією додавання чисел 18 і 14. (18+14=32 хлопчики) Продовжуємо розмірковувати: Якщо 32 хлопчики повинні доглядати 160 дерев, то 1 хлопчик доглядатиме в 32 рази менше, тобто кількість дерев, закріплених для догляду за одним хлопчиком, знаходимо дією ділення 160:32=5 дерев. Якщо кожен хлопчик повинен доглядати 5 дерев, а у першому загоні є 18 хлопчиків, то за цим загоном буде закріплено 5-18=90 дерев. Якщо кожен хлопчик повинен доглядати 5 дерев, а у другому загоні є 14 хлопчиків, то за другим загоном буде закріплено 5-14=70 дерев.

Кількість дерев, які треба закріпити за другим загоном, можна визначити, міркуючи так: якщо обидва загони повинні доглядати 160 дерев, а за першим загоном закріплено 90 дерев, то за другим загоном треба закріпити 160-90=70 дерев. Розв'язання має вигляд:

1. 18+14=32 (х.) - повинні доглядати всі дерева.

2. 160:32=5 (д.) - повинен доглядати 1 хлопчик.

3. 5-18=90 (д.) - треба закріпити за першим загоном.

4. 5-14=70 (д.) - треба закріпити за другим загоном.

4^а. 160-90 = 70 (д.)

Після повторного обґрунтування розв'язання даної задачі вчитель детально характеризує спосіб розв'язування і зміст кожної дії у розв'язанні; тим самим узагальнює спосіб розв'язування задач на пропорційний поділ, а саме:

"Задачі на пропорційний поділ розв'язуються чотирма діями. Першою дією знаходять суму двох даних значень однієї величини (в даній задачі - суму кількостей хлопчиків обох загонів).

Цю суму співставляють із даною сумою шуканих значень іншої величини (в даній задачі співставляли загальну кількість хлопчиків із загальною кількістю дерев, які треба розподілити між загонами). На основі цього співставлення виконують другу дію - ділення, якою знаходять значення сталої величини (в даній задачі сталою є кількість дерев, закріплених за одним хлопчиком).

Третя й четверта дії однакові. В даній задачі - це дії множення, бо шукаємо два значення величини, розташованої в третій колонці. Ці значення дорівнюють добутку значення сталої величини (кількості дерев, закріплених за одним хлопчиком) на відповідні дані значення другої величини (кількості хлопчиків у загонах). Оскільки друга дія виражає спосіб прямого зведення до одиниці (до 1 зводили в даній задачі кількість хлопчиків, для якої в умові дано 2 значення 18 і 14), тому третя і четверта дії є множенням.

Четверту дію можна виконати відніманням: від значення величини, яку розподіляють, віднімають отримане одне значення шуканої величини".

Але в задачах на пропорційний поділ друга дія (ділення) може виражати спосіб оберненого зведення до одиниці. Тоді третя і четверта дії - ділення. Розглянемо задачу цього типу, в якій застосовується спосіб оберненого зведення до одиниці. Прикладом такої задачі є задача, обернена до розглянутої вище, а саме:

Два загони хлопчиків поділили між собою для догляду дерева так, що за першим загоном було закріплено 90 дерев, а за другим - 70 дерев. Скільки хлопчиків у кожному загоні, якщо відомо, що в обох загонах 32 хлопчики, і кожний хлопчик доглядав однакову кількість дерев?

Таблиця скороченого запису має вигляд:

	Кількість дерев на одного хлопчика	Кількість хлопчиків у загоні	Загальна кількість дерев
I загін II загін	однакова	? 32 ?	90 70

Охарактеризуємо тип задачі. Це задача на пропорційний поділ, бо в ній вимагається розподілити значення загальної кількості хлопчиків між двома загонами пропорційно до двох значень кількості дерев, які закріплені за загонами, тобто так, щоб в тому загоні, за яким закріплено більшу кількість дерев, було більше хлопчиків, а в тому загоні, за яким закріплено меншу кількість дерев, було менше хлопчиків. Щоб визначити кількість хлопчиків у кожному загоні співставимо загальну кількість хлопчиків в обох загонах із загальною кількістю дерев, які вони доглядали. Останню знаходимо дією додавання: 90+70=160 дерев.

Якщо 160 дерев доглядають 32 хлопчики, то на одного хлопчика припадає рази менше, тобто 160:32=5 дерев. Якщо перший загін доглядає 90 дерев, і кожен ­учень доглядає по 5 дерев, то кількість хлопчиків у цьому загоні знаходиться часткою від ділення чисел 90 і 5, яка означає скільки разів по 5 дерев місти у 90 дерев. (90:5=18 хлопчиків).

Аналогічно, виконавши дію ділення на вміщення (70:5=14), знайдемо кількість хлопчиків у другому загоні. Зауважимо, що дії ділення треба читати так поділити по 5 дорівнює 18. Кількість хлопчиків у другому загоні можна визнач дією віднімання від загальної кількості хлопчиків кількості хлопчиків у перш загоні; тобто 32-18=14.

Отже, розв'язання цієї задачі має вигляд:

1. 90+70=160 (д.) - доглядали хлопчики обох загонів.

2. 160:32=5 (д.) - доглядає кожен хлопчик.

3. 90:5=18 (хл.) - у першому загоні.

4. 70:5=14 (хл.) - у другому загоні.

4а) 32-18=14 (хл.)

Як бачимо, розв'язання цієї задачі складається з чотирьох дій. Перша дія додавання. Нею знаходять суму двох даних значень однієї величини (загал: кількість дерев).

Друга дія - ділення на рівні частини. Вона виражає спосіб обернені зведення до одиниці, бо до 1 зводили ту величину, для якої в умові було да лише одне значення (в даній задачі - кількість учнів ). Цією дією знаходимо значення сталої величини.

Третя і четверта дії - це ділення на вміщення, бо знаходили два значення величини, розташованої у другій колонці таблиці. Крім цього, слід запам'ятати що третя і четверта дії - ділення, тому що друга дія виражає спосіб обернено зведення до одиниці.

Четвертою дією може бути віднімання. Нею знаходять друге шукане значення величини за даною в умові їх сумою та знайденим одним значення цієї величини.

Отже, при розв'язуванні задач на пропорційний поділ застосовується епос прямого чи оберненого зведення до одиниці, залежно від чого визначається зміст третьої та четвертої дій при розв'язуванні. Зміст першої та другої дій задачах цього типу зберігається. Сформульовані висновки випливають аналізу методики роботи над задачами цього типу, розглянутими вище.

Задачі на знаходження значень величини за двома різницями

Задачі цього типу зустрічаються в четвертому класі чотирирічної початкове школи і їх сюжети характеризуються зв'язками між пропорційними величинами. Ці задачі називають задачами на знаходження значень величини за двома різницями тому, що в умові задачі дано значення однієї різниці, а саме різним шуканих двох значень величини, а другу різницю знаходять першою дією під час розв'язування - це є різниця двох даних в умові значень іншої величини Щоб охарактеризувати методику роботи по формуванню мислення та мовлення молодших школярів в процесі розв'язування задач цього типу, розглянемо задачу №1083 з підручника М.В.Богдановича "Математика" 4(3).

Задача. Один вертоліт пролетів 480 км, а другий 800 км. Перший вертоліт був у польоті на 2 години менше. Скільки годин був у польоті кожний вертоліт, якщо їх швидкість однакова?

Скорочений запис цієї задачі найзручніше виконати в таблиці (як і всіх задач на зв'язки між пропорційними величинами).

	Швидкість	Час	Відстань
І вертоліт ІI вертоліт	однакова	?, на 2 год менше ?	480 км 800 км

Здійснюючи розбір змісту задачі після її читання і виконання скороченого запису, вчитель повинен ґрунтовно роз'яснити учням співвідношення між значеннями величин, повторити і відтворити здобуті ними раніше знання залежностей між величинами цієї групи, виконати ілюстрацію задачі:

І вертоліт

II вертоліт

Після цього слід продемонструвати зразок міркування в процесі пошуку шляху розв'язування задачі: "З таблиці і графічної ілюстрації видно, що перший вертоліт пролетів меншу відстань, ніж другий, хоч вони обидва рухалися з однаковою швидкістю. Цікаво, чому перший вертоліт пролетів меншу відстань, ніж другий? Напевне тому, що він був у польоті аж на 2 год. менше часу, ніж другий. Бо якби обидва вертольоти були в польоті однаковий час, то, рухаючись з однаковою швидкістю, вони пролетіли б і однакову відстань. Але другий вертоліт був у польоті стільки часу, скільки перший, та ще 2 год, тому він і пролетів більшу відстань. Цікаво, скільки кілометрів пролетів другий вертоліт за 2 години? З ілюстрації видно, що перший і другий вертольоти за однаковий час перебування у польоті пролетіли однакову відстань, тобто по 480 км. Але другий вертоліт, крім цього, пролетів ще деяку відстань за 2 год, яка в сумі із відстанню 480 км становить 800 км. Отже, відстань, яку пролетів другий вертоліт за 2 год, дорівнює різниці 800-480=320 км. (Слід жестом показати на ілюстрації відстань, яку пролетів другий вертоліт за 2 год.)Далі продовжуємо міркувати так: якщо за 2 год другий вертоліт пролетів 320 км, то за 1 год він пролітав у 2 рази меншу відстань, тобто 320:2=160 км. Відстань, яку пролетів другий вертоліт за 1 год, називається його швидкістю. Отже, швидкість другого вертольота 160 км/год. З умови задачі відомо, що швидкість обох вертольотів однакова, а тому швидкість першого вертольота також 160 км/год. Знаючи відстань, яку пролетів кожний вертоліт, і швидкість вертольотів, можна знайти час руху вертольотів за правилом: щоб знайти час руху, треба пройдену відстань поділити на швидкість (t=S:u). Отже, час руху першого вертольота дорівнює 480:160=3 години, а час руху другого вертольота дорівнює 800:160=5 годин. Замість останньої дії можна виконати дію додавання, до якої приходимо шляхом такого міркування: з умови відомо, що перший вертоліт був на 2 год. менше в польоті, ніж другий, а отже, другий був у польоті на 2 год. більше, ніж перший. Тому час руху другого вертольота дорівнює 3+2=5". Остаточно дістали розв'язання:

1. 800-480=320 (км) - пролетів більше другий вертоліт.

2. 320:2=160 (км/год) - швидкість кожного вертольота.

3. 480:160=3 (год) - був у польоті перший вертоліт.

4. 800:160=5 (год) - був у польоті другий вертоліт.

4а. 3+2=5 (год).

Проаналізуємо розв'язання задачі. Його структура однакова для всіх задач цього типу.

Першою дією завжди знаходять значення різниці двох даних в умові значень однієї величини. (В наведеній задачі знаходили різницю значень відстаней, які пролетіли другий та перший вертольоти).

Потім співставляють отримане в результаті першої дії значення "другої" різниці із значенням "першої" різниці, тобто різниці шуканих значень величини, даним в умові задачі: (В даній задачі співставляли різницю значень відстаней з даною в умові різницею шуканих значень часу).

Внаслідок співставлення цих різниць дією ділення їх знаходимо значення сталої величини. (В даній задачі - значення швидкості). Друга дія - ділення - виражає спосіб прямого або оберненого зведення до одиниці. (В даній задачі дія ділення "другої" різниці на "першу" виражає спосіб оберненого зведення до одиниці, бо до одиниці зводили ту величину, для якої в умові задачі дано тільки одне значення, тобто час).

Вибір третьої і четвертої дій залежить від того, який спосіб зведення до одиниці виражала друга дія (пряме зведення чи обернене). Якщо друга дія виражала спосіб прямого зведення до одиниці, то третя і четверта дії - множення значення сталої величини на кожне з двох даних значень іншої величини. Якщо ж друга дія виражала спосіб оберненого зведення до одиниці, то третя і четверта дії - ділення кожного з двох даних значень однієї величини на значення сталої величини. (Оскільки в даній задачі друга дія виражала спосіб оберненого зведення до одиниці, то третя і четверта дії - ділення кожного з даних значень відстані на значення швидкості, яка є сталою величиною). Отримані частки і є шуканими значеннями величини. Але четверту дію можна виконати не діленням, а додаванням чи відніманням залежно від того, в якому відношенні ("більше" чи "менше") перебуває друге значення шуканої величини з першим. (В даній задачі час руху другого вертольота більший, ніж час руху першого вертольота, тому дія 4а) була додавання).

Для того, щоб учні засвоїли хід думок при розв'язуванні задач цього типу, правильно обґрунтовували вибір кожної дії, оволоділи способом розв'язування цих задач, необхідно після "проговореного" вчителем міркування практикувати відтворення і проговорювання учнями цього міркування. Хоч часто вчителі надають перевагу методові бесіди при розв'язуванні задач, але, як переконує наш досвід, на початкових етапах ознайомлення із задачами цього типу (та й інших типів!) слід обов'язково застосовувати метод пояснення, метод власного розмірковування вчителя вголос, що служить зразком для наслідування його учнями. А потім застосувати репродуктивний метод, тобто метод відтворення учнями прослуханих пояснень вчителя. Таке поєднання методів забезпечує успішне оволодіння учнями раціональним мисленням, мовленням та свідоме засвоювання способів розв'язування задач.

Після оволодіння учнями новим способом розв'язування задач вчитель повинен на уроках узагальнення і систематизації знань учнів включити засвоєні нові способи в систему раніше засвоєних способів, виділити спільні та відмінні ознаки як в структурах текстів різнотипних задач так, і в способах їх розв'язування. Наприклад, після засвоєних учнями способів розв'язування задач на пропорційний поділ та на знаходження значень величини за двома різницями вчитель на узагальнюючих уроках проводить порівняльний аналіз та співставлений задач цих типів і встановлює такі схожості і відмінності: " У задачах на пропорційний поділ дано в умові суму двох шуканих значень величини, а в задачах на знаходження значень величини за двома різницями дано в умові різницю двох шуканих значень величини. Крім цього, в умові задач кожного типу дано завжди два значення іншої величини. Третя величина стала. Першою дією в задачах на пропорційний поділ знаходять суму даних двох значень величини, а в задачах на знаходження значень величини за двома різницями першою дією знаходять різницю двох даних значень величини.

Другою дією в задачах обох типів знаходять значення сталої величини, причому це є завжди дія ділення. Але в задачах на пропорційний поділ ділять значення однієї загальної суми на значення іншої суми, а в задачах на знаходження значень величини за двома різницями ділять одну різницю на іншу. Друга дія (ділення) виражає спосіб прямого чи оберненого зведення до одиниці в кожному з цих типів задач.

Для обох типів задач третя і четверта дії однакові - множення або ділення. При прямому зведенні до одиниці - це дії множення, при оберненому зведенні до одиниці - це дії ділення. Четвертою дією при розв'язуванні задач на пропорційний поділ може бути дія віднімання (і тільки!), а при розв'язуванні задач на знаходження значень величини за двома різницями четвертою дією може бути дія додавання або віднімання, залежно від вказаного в умові відношення між шуканими значеннями величини".

Ми розглянули науково-методичні основи формування мислення і мовлення молодших школярів при розв'язуванні задачі на знаходження значень величини за двома різницями із застосуванням способу оберненого зведення до одиниці. Покажемо методичні основи організації відповідної роботи при розв'язуванні задач цього типу із застосуванням способу прямого зведення до одиниці. Для цього розглянемо задачу, обернену поданій вище.

Задача: Один вертоліт був у польоті 3 год, а другий 5 год. Перший вертоліт пролетів на 320 км менше, ніж другий. Скільки кілометрів пролетів кожний вертоліт, якщо їх. швидкість однакова?

Скорочений запис тексту задачі в таблиці:

	Швидкість	Час	Відстань
I вертоліт II вертоліт	однакова	3 год 5 год	?, на 320 км менше ?

Після виконання скороченого запису тексту задачі вчитель повинен проілюструвати її, нагадавши учням суть схематичних зображень задач на рух, а саме:

• напрям рівномірного прямолінійного руху об'єкта зображають стрілкою, яку розташовують вздовж відрізка прямої;

• окремі рівні, послідовно виділені, відрізки на прямій зображають швидкість руху;

• кількість однакових відрізків на прямій, якими зображена швидкість, означає кількість одиниць часу руху об'єкта;

• загальна довжина всіх виділених відрізків прямої означає пройдену відстань.

Отже, ілюстрація даної задачі має вигляд:

I вертоліт

II вертоліт

Важливо, щоб вчитель навчив учнів "читати" ілюстрацію, продемонстрував зразок такого "читання" і розмірковування над сюжетом задачі, над величинами, даними в ній, та зв 'язками між ними. Це дозволить учням краще зрозуміти зміст задачі, величини, що характеризують явище руху, зв'язки і залежності між ними, полегшить вибір арифметичних дій під час розв'язання, сприятиме свідомому засвоєнню способу розв'язування задач цього типу. Наведемо приклад розмірковування над даною задачею:

"Оскільки перший вертоліт був у польоті 3 години і рухався з однаковою швидкістю, то відстань, яку він пролетів за цей час, зобразимо відрізком, який складається з трьох однакових відрізків, кожний з яких зображає швидкість; оскільки другий вертоліт був у польоті 5 годин і рухався з тією самою швидкістю, що й перший, то відстань, яку він пролетів за 5 годин, зобразимо відрізком, який складається з п'яти таких самих відрізків. Зрозуміло, що другий відрізок довший, ніж перший, бо в умові сказано, що "перший вертоліт пролетів на 320 км менше, ніж другий", а отже, другий пролетів на 320 км більше, ніж перший. З ілюстрації видно, що другий відрізок довший від першого на два відрізки, які зображають швидкість. З другого боку, кількість відрізків означає час руху. Отже, другий вертоліт був у польоті на 2 год довше, ніж перший (5-3=2 год), а тому пролетів на 320 км більше, тобто за 2 години він пролетів відстань 320 км. Співставивши ці значення величин відстані і часу, можемо визначити швидкість другого вертольота. Щоб знайти швидкість, треба відстань поділити на час. 320:2=16 0 км/год - швидкість другого вертольота. Але з умови задачі відомо, що перший вертоліт рухався з тією самою швидкістю, що й другий, тобто 160 км/год. Знаючи швидкість і час руху кожного вертольота і спираючись на ілюстрацію, легко знайти відстань, яку пролетів кожен з них: щоб знайти відстань, треба швидкість помножити на час. Отже, 160-3=480 км - відстань, яку пролетів перший вертоліт, 160-5=800 км - відстань, яку пролетів другий вертоліт. Останню відстань можна знайти дією додавання, бо з у мов и задачі відомо, що "перший вертоліт пролетів на 320 км менше, ніж другий", а тому другий пролетів на 320 км більше, ніж перший, тобто 480+320=800 км - відстань, яку пролетів другий вертоліт. Тепер запишемо розв'язання з поясненням:

1. 5-3=2 (год) - більше був у польоті II вертоліт;

2. 320:2=160 (км/год) - швидкість кожного вертольота;

3. 160-3=480 (км) - пролетів І вертоліт;

4. 160-5=800 (км) - пролетів II вертоліт;

4.^а 480+320=800 (км).

Після запису розв'язання обов'язково слід проаналізувати його структуру. Очевидно, що структура розв'язання цієї задачі аналогічна до попередньої: першою дією знаходять значення різниці двох даних в умові значень однієї величини (часу). Після співставлення отриманої різниці значень часу (2 години) з різницею відстаней (320 км), даною в умові задачі, знаходять значення сталої величини - швидкості. Оскільки швидкість - це відстань, пройдена за одиницю часу (за 1 годину), то при її знаходженні до одиниці зводили ту величину, для якої в умові задано 2 значення, тобто час. А це означає, що друга дія - ділення - виражає спосіб прямого зведення до одиниці.

Третя і четверта дії - множення, бо застосовували спосіб прямого зведення до одиниці і знаходили два значення величини, розташованої в третій колонці таблиці скороченого запису. Четвертою дією може бути дія додавання або віднімання залежно від того, яке відношення - "більше" чи "менше" - між шуканими значеннями величини, і яке значення шукають останнім. (В даній задачі відношення "менше" стосується першого значення шуканої величини, але оскільки останньою дією знаходять друге значення шуканої величини і вона перебуває у відношенні "більше" до першого значення, то четвертою дією може бути дія додавання).

Ми розглянули науково-методичні основи роботи над задачами на пропорційний поділ та на знаходження значень величини за двома різницями.

Задачі на складне правило трьох, які розв'язуються способом подвійного зведення до одиниці, розглянемо в наступному номері.

Ядвіга Пасічник,

професор Острозької Академії

51