2.2 Умножение матриц

Умножение матриц, на первый взгляд кажется более сложным действием, чем простое умножение чисел. Во-первых, не все матрицы могут быть перемножены между собой, и, во-вторых, для тех, которые можно умножать, результат такой операции - обычно третья матрица, должен включать в себя все элементы двух исходных матриц.

Правила, которым подчиняется умножение матриц, в общем виде могут быть сформулированы для двух матриц А и В, произведением которых является третья матрица – С. Если мы обозначим каждый элемент в матрице C как C_ij, где i и j относятся к строке и столбцу, в котором находится элемент, соответственно, тогда значение C_ij получаем из:

C_ij=ΣAik*Bkj для действия A x B = C.

В этом выраженни суммирование проводится от k=1 до максимального значения k, определяемого размером матрицы.

Для примера рассмотри умножение двух 2х2 квадратных матриц P и Q, и

возникающую в результате новую матрицу R:

R₁₁ = P₁₁* Q₁₁ + P₁₂*Q₂₁ = 1 x 3 + 2 x (-2) = -1

R₁₂ = P₁₁* Q₁₂ + P₁₂*Q₂₂ = 1 x 1 + 2 x 0 = 1

R₂₁ = P₂₁* Q₁₁ + P₂₂*Q₂₁ = 3 x 3 + 1 x (-2) = 7

R₂₂ = P₂₁* Q₁₂ + P₂₂*Q₂₂ = 3 x 1 + 1 x 0 = 3

Следует отметить, что эта операция подразумевает особый порядок при проведении умножения, т.е. P x Q. Противоположный порядок – Q x P приведёт к иным элементам матрицы, таким как например

R'₁₁ = Q₁₁ * P₁₁ + Q₁₂ * P₂₁ = 3 x 1 = 1 x 3 = 6

который в данном случае полностью отличается от R₁₁.

Это показывает важные отличия между умножением матриц и умножением чисел. Простое умножение коммутативно, т.е. 2 х 3 = 3 х 2, однако умножение матриц коммутативно только тогда, когда обе матрицы симметричны относительно главной диагонали.

2.3 Операции симметрии и матрицы

Теперь мы готовы к тому, чтобы выражать операции симметрии в виде матричных представлений и изучать результат последовательных операций симметрии - опять-таки путём использования матриц.

Матрица для поворота С₂

Для начала мы можем рассмотреть эффект двукратного вращения вокруг Декартовой координатной оси для точки общего положения P (X,Y,Z) как показано на Рис.2.1.

Рис. 2.1

Если ось С₂ совпадает с осью х, тогда в результате операции С₂ (х) точка P переместится в положение Q с новыми координатами (X,-Y,-Z).

Эффект этого перемещения может быть выражен с помощью 3-х отдельных уравнений:

C₂ (x)X = (+1)X + (0)Y + (0)Z

C₂ (x)Y = (0)X + (-1)Y + (0)Z

C₂ (x)Z = (0)X + (0)Y + (-1)Z

а также в виде матрицы, соответствие которой с отдельными уравнениями полностью очевидно:

Подобным образом, С₂ вращение относительно оси y (Рис.2.2)

Рис. 2.2

смещает P с координатами (X,Y,Z) в новое положение R с (-X,Y,-Z), как показано ниже:

а С₂ (z) вызывает перемещение точки P в точку S (-X,-Y,Z) (Рис. 2.3).

Каждая из этих матриц поэтому связана с отдельной операцией вращательной симметрии. Матрицы, которые представляют операции более высокого порядка, связанные с осями C_n и S_n будут рассматриваться в

Рис. 2.3

главе 4.

Матрицы для отражений

Как можно заметить на рис 2.4, операция отражения в плоскости σ (xy) переведёт точку P (X,Y,Z) в положение Т (X,Y,-Z), и в матричном представлении это будет в итоге выглядеть как:

Матрицы для отражений в плоскостях σ (xz)и σ (yz) соответственно:

Рис. 2.4

Матрицы для Е и i

Матрицы, описывающие операции идентичности и инверсии для точки общего положения P (X,Y,Z) очень логичны. В результате операции идентичности все координаты останутся на своих местах,и операции инверсии относительно центра, расположенного в начале координат (0,0,0) переведут точку (X,Y,Z) в положение (-X,-Y,-Z).

Матрицы для операций Е и I приведены ниже.

Последовательные операции симметрии в точечной группе D₂

Теперь у нас есть возможность анализировать эффект от проведения последовательных операций симметрии и с помощью изображений и с помощью использования простых матриц. Одна из наиболее лёгких для понимания систем возникает, когда все важные операции симметрии включают простое вращение.

На Рис. 2.5 показана точка общего положения P (X,Y,Z) в системе Декартовых координат,

Рис. 2.5

где оси С₂ лежат вдоль направлений x, y, z каждая. Совокупность этих эелементов вместе с идентичностью составляет точечную группу D₂.

Вращение относительно x посредством С₂ (x) переведёт Р в положение Q с координатами (X,-Y,-Z), и последующее вращение относительно у с помощью С₂ (у) спроецирует Q в точку S c координатами (-X,-Y,Z).

Если затем мы проведём операцию поворота относительно С₂ (z) к точке S. Мы вернёмся в из начальную позицию Р.

Отдельные операции могут быть записаны как:

C₂ (x)P  Q, C₂ (y) Q  S, C₂ (z)S  P

А полная последовательность операций как:

C₂ (z) * C₂ (y) *C₂ (x)P  P

Отметим, что первая из проведенных операций, С₂ (x) при записи последовательных операций находится правее всех.

Эти последовательные операции иллюстрируют одну из наиболее важных особенностей точечных групп: результат проведения двух или более последовательных операций может в большинстве случаев получиться независимым применениям другой операции из группы.

В данном случае, результат двух первых операций

C₂ (y) *C₂ (x)P  S может быть получен при помощи C₂ (z)P  S,

т.е. C₂ (y) *C₂ (x) = C₂ (z)

Полная последовательность C₂ (z) * C₂ (y) *C₂ (x) эквивалентна Е.

Последовательные операции - использование матриц

Результаты, о которых говорилось выше, были получены полностью графическим путём, но к тем же самым выводам можно прийти с помощью умножения между собой матриц отдельных операций - как было показано ранее.

Например, результат последовательных операций C₂ (y) *C₂ (x) может быть получен

из произведения соответствующих матриц

и матрица, получившаяся в результате, как мы видим, соответствует операции C₂ (z).

Отметим, что обе матрицы для C₂ (y) и C₂ (x) симметричны относительно главной диагонали и поэтому эти две операции будут коммутировать, т.е. C₂ (y) *C₂ (x) = C₂ (x) *C₂ (y).

Последовательное вращение относительно одной и той же оси, например C₂ (y) *C₂ (y), приводит к идентичности Е. В матричной форме это выводится из соотношения:

Таблица умножения для операций в точечной группе D₂

В общем виде, эффект от проведения последовательных операций симметрии может быть выражен в форме таблиц умножения. В таблице характеров для точечной группы D₂ (Приложение II) находятся четыре элемента симметрии, каждый из которых допускает только одну операцию:

D2

E

C2 (z)

C2 (y)

C2 (x)

Таблица умножения для точечной группы D₂ приведена ниже:

D2	E	C2(z)	C2(y)	C2(x)
E	E	C2(z)	C2(y)	C2(x)
C2(z)	C2(z)	E	C2(x)	C2(y)
C2(y)	C2(y)	C2(x)	E	C2(z)
C2(x)	C2(x)	C2(y)	C2(z)	E

В этой таблице операция, которая проводится первой, стоит в верхней строке, а вторая операция приведена в крайнем левом вертикальном столбце. В основной части таблицы показаны одиночные операции симметрии, которые эквивалентны выполнению двух последовательных операций.

Эта таблица подчёркивает важность идентичности Е. а также показывает, что для этой точечной группы все операции коммутативны, т.е. C₂ (x) *C₂ (y).= C₂ (y) *C₂ (x) = C₂ (z).

Последовательные операции для точечной группы С_2v

На Рис. 2.6 показаны элементы симметрии точечной группы по отношению к точке

Рис. 2.6

общего положения P (X,Y,Z), и таблица умножения для группы С_2v может как графически, так и с помощью матриц.

Как мы видим из рисунка, отражение в плоскости yz с последующим отражением в плоскости xz приводит к последовательности P  U  S, а в одну стадию перемещение P  S может быть достигнуто с помощью поворота С2 вокруг оси z.

Матрицы для этих операций были получены ранее:

σ (xz)	σ (yz)	C2 (z).

и в матричной форме результат последовательных операций таких как σ (xz)*σ (yz) поэтому:

т.е. σ (xz)*σ (yz) = C₂ (z).

Полная таблица умножения для группы С_2v приведена ниже:

С2v	E	C2(z)	v(xz)	v(yz)
E	E	C2(z)	v(xz)	v(yz)
C2(z)	C2(z)	E	v(yz)	v(xz)
v(xz)	v(xz)	v(yz)	E	C2(z)
v(yz)	v(yz)	v(xz)	C2(z)	E