5. Трижды вырожденные представления: точечная группа Td.

Трижды вырожденные представления - это неприводимые представления, состоящие из матриц 3 х 3 и обозначающиеся основным символом Т.С химической точки зрения, чаще всего они могут быть найдены в кубических точечных группах T_d и O_h, и их распространенность лучше всего проиллюстрировать на примере.

На рис 4.4 показаны три вектора x₁, y₁ и z₁ на центральном атоме в тетраэдрической

Рис. 4.4

молекуле, такой как СН₄. Эти векторы лежат вдоль C₂ (и S₄) осей симметрии. Четыре оси С₃, перпендикулярные граням правильного тетраэдра проходят через центральный атом и один из атомов водорода (например, Н₁). Плоскости σ_d содержат в себе центральный атом углерода и два из четырёх атомов водорода каждая. Плоскость, показанная на Рис. 4.4, рассекает напополам угол между осями x и y и содержит атомы Н₁ и Н₃.

Таблица характеров для группы T_d приведена ниже:

Td	E	8C3	3C2	6S4	6d	h = 24
A1	1	1	1	1	1		x2+ y2+z2
A2	1	1	1	-1	-1
E	2	-1	2	0	0		(2z2-x2-y2, x2-y2)
T1	3	0	-1	1	-1	(Rx, Ry, Rz)
T2	3	0	-1	-1	01	(x, y, z)	(xy, xz, yz)

Мы можем видеть, что в ней содержится два трижды вырожденных неприводимых представления, Т₁ и Т₂, записанных в крайнем слева столбце.

Сбоку от этих символов находятся строки чисел, которые соответствуют характерам матриц. а в последнем столбце можем найти набор функций, вместе заключённых в скобки. Таблица характеров показывает что и (x, y, z) и (xy, xz, yz) отображаются как Т₂, и мы можем подтвердить это для набора (x, y, z) если определим характеры матриц для выбранных операций симметрии из группы на векторы x₁, y₁ и z₁.

5. Характеры для представления гxyz для центрального атома

Мы уже убедились ранее, что для того, чтобы получить неприводимые представления для любого представления Г нам необходимо лишь знать характеры матриц, которые составляют Г вместе с данными из таблицы характеров. В этом сложном случае мы попытаемся направиться прямо (непосредственно) к характерам различных матриц, путём сосредоточивания на диагональных элементах каждой из матриц 3 х 3, поскольку только они вносят вклад в характер.

Операция идентичности оставляет x₁, y₁ и z₁ без смещения, поэтому каждый вектор производит элемент +1 на диагонали. Характер матрицы, таким образом, равен +3. В этой точечной группе принимаются во внимание восемь отдельных (различных) операций С₃:

по две для каждой из четырёх осей С₃, но, как обсуждалось ранее, любая из них может использоваться для создания матрицы, которая даст соответствующий χ_R. Если мы выберем ось С₃ лежащую вдоль связи С-Н₁ (Рис. 4.4), в результате операции С₃¹ возникнут преобразования : x₁ в y₁, y₁ в z₁ и z₁ в x₁. Матрица для этих операций приведена сбоку, и её характер ранен нулю. Как показано ранее, С₂ и S₄ оси располагаются вдоль Декартовых координатных осей, и если мы выберем С2 или S₄ оси, лежащие вдоль z, как это делаем обычно, получим:

для C₂ (z): x₁ в -x₁, y₁ в -y₁ и z₁ в z₁ что приводит к характеру -1

для S₄¹: x₁ в y₁, y₁ в -x₁ и z₁ в -z₁, которые также дают -1.

И, наконец, как показано ранее, отражение в любой вертикальной плоскости приведёт к матрице с характером +1. В данном случае, отражение в σ_d меняет x₁ и y₁, но оставляет без изменений -z₁. Матрица, которая формирует представление Г_XYZ поэтому имеет характеры:

E	8C3	3C2	6S4	6d
3	0	-1	-1	1

И так соответствует Т₂.