4.2 Матрицы для поворота на угол : общее выражение для характера операции Сn1

Эффект от поворота против часовой стрелки относительно оси z на обобщённый угол 

Рис. 4.2

проиллюстрирован на Рис. 4.2, где точка Q (X,Y) лежащая в плоскости xy передвигается в позицию Q' (X',Y'). Если мы определим расстояние между Q и Q' как «d», тогда начальные координаты Q (X,Y) могут быть выражены альтернативным способом:

X = d cosα, Y = d sinα

После вращения новые координаты (X',Y') задаются как

X' = d cos (α + θ), Y' = d sin (α + θ)

Преобразование этих обычных тригонометрических выражений даёт:

X' = d {cosα cosθ - sinα sinθ } = X cosθ - Y sinθ

Y' = d {sinα cosθ + cosα sinθ} = Y cosθ + X sinθ

Вращение относительно z на угол θ (n = 360/θ) против часовой стрелки может быть поэтому подытожено в виде матричного равенства:

Характер этой матрицы, следовательно, равен 2 cosθ.

Вообще говоря, точка Q также имеет z координату Z и действие С_n¹ переведёт Q (X,Y,Z) в Q' (X',Y',Z'). Однако, так как ось С_n лежит вдоль оси z, в результате такого вращения координата Z останется без изменений.

Z' = Z, т.е С_n (Z) = (+1) (Z)

Если мы включим это дополнение в наше описание этой операции, тогда матрица, описывающая действие С_n¹ на точку общего положения (X,Y,Z), может быть представлена как:

И характер для неё имеет значение

χС_n = 2 cosθ + 1

Это важный общий вывод, и он приводит непосредственно к характеру матрицы для вращения вокруг оси любого порядка.

Это равенство также приводит к дополнительному общему выводу, связанному с характерами матриц для C_n^m

Характер матрицы для операции С_n¹ будет идентичен характеру матрицы для С_n^-1 (т.е. С_n^n-1).

Эта равнозначность возникает потому что cosθ = cos (-θ) и имеет эффект, заключающийся в том, что характер не зависит и то направления оси и от направления вращения.

Таким образом мы можем переступить через некоторую неопределённость, связанную с «направлением» осей (по отношению к позициям атомов в молекуле) и с возникающим в последствии направлением вращения (по часовой или против часовой стрелки), в который вовлечены оси высших порядков. Оба этих направления иногда выбираются каким-либо случайным образом без предпочтений.

Таким образом, мы избавляемся от некоторой неопределённости, связанной с «направлением» осей (по отношению к позициям атомов в молекуле) и направлением вращения (по или против часовой стрелки) вокруг осей высших порядков. Оба эти направления обычно выбираются случайным образом, без каким-либо предпочтений.

3. Представления в точечных группах высшего порядка

Теперь мы в состоянии выводить представления для большинства точеных групп используя векторы, атомы, связи и орбитали в качестве базиса, и эта часть главным образом посвящена иллюстрированию этой процедуры.

Но перед тем, как достигнуть этой стадии, полезно ближе познакомиться с наиболее часто встречающимися точечными группами C_3v и T_d.