Задание 6

Для выполнения этого задания потребуется умение переводить комплексное число из алгебраической в тригонометрическую и показательную формы.

Кроме того, потребуются следующие формулы:

Рассмотрим пример. .

Запишем числитель и знаменатель в тригонометрической и показательной формах.

,

,

,

,

,

,

,

.

Вычислим

.

Вычислим z⁴.

Вычислим .

Подставляя поочередно значения k, получим

Задание 7

В этом задании необходимо решить дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Рассмотрим пример. . Перепишем уравнение в виде:

Проинтегрируем обе части уравнения

Задание 8

В данном задании требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Для этого можно воспользоваться методом Бернулли, который заключается в замене y=uv, где u и v – функции, зависящие от переменной х. Тогда, согласно правилу дифференцирования произведения, производная функции у будет равна y'=u'v+uv'.

Рассмотрим пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному условию.

Сделаем замену: y=uv, тогда y'=u'v+uv'.

Перепишем уравнение в виде:

Составим систему уравнений:

Решим первое уравнение.

дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными;

;

;

.

Подставим найденную функцию v во второе уравнение системы и решим его.

.

u'=2x-1 – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

u=x²-x+c.

Запишем общее решение.

y=uv=(x²-x+c)

Найдем решение, удовлетворяющее условию у(2)=4,

(2²-2+с) =4с=0.

Таким образом, y=(x²-x) =х(х-1) =х².

Ответ: у=х².

Задание 9

В этом задании требуется решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее данным начальным условиям.

Рассмотрим пример: x"-7x'+12x=e^3t, x₀=2, x'₀=7.

Сначала найдем общее решение неоднородного уравнения, которое имеет вид х_он=х_оо+х_чн.

1. Найдем х_оо. Составим и решим характеристическое уравнение.

k²-7k+12=0;

D=1;

k₁=3, k₂=4.

Значит, х_оо=с₁e^3t+ с₂e^4t.

2. Найдем х_чн. Так как в правой части уравнения стоит функция специального вида, общем случае имеющая вид f(t)=e^t(P_n(t)cost+Q_m(t)sint),то в нашем случае имеем:

=3, =0,

P_n(t)=1, n=0l=0.

Поскольку (i)=3 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то S=1. Таким образом, частное решение будем искать в виде:

х_чн=e^3t(Acos0+Bsin0)t или х_чн=Ate^3t.

Значение коэффициента А найдем методом неопределенных коэффициентов. Для этого предварительно вычислим х'_чн и х"_чн:

х'_чн= Ae^3t+3Ate^3t=(А+3At)e^3t.

х"_чн=3Ae^3t+3(А+3At)e^3t=(6А+9At)e^3t.

Подставляем в исходное уравнение:

(6А+9At)e^3t-7(А+3At)e^3t+12 Ate^3t= e^3t.

Поделив обе части равенства на e^3t и приведя подобные слагаемые, получим А=-1.

Значит, х_чн=-te^3t. Итак, х_он=с₁e^3t+с₂e^4t-te^3t – общее решение неоднородного уравнения.

Далее найдем решение уравнения, удовлетворяющее заданным условиям х₀=2, х'₀=7. Для этого предварительно вычислим x'_oн.

x'_0н= 3с₁e^3t+4с₂e^4t- e^3t-3te^3t.

Подставим в общее решение и в его производную следующие значения t=0, x_он=2, x'_он=7, получим:

Откуда находим с₁=0, с₂=2.

Значит, решение уравнения, удовлетворяющее заданным условиям, имеет вид:

х=2e^4t-te^3t