Епюри поперечних сил і згинаючих моментів

Для наочного зображення вздовж вісі балки поперечних сил згинаючих моментів будують епюри, які дають можливість визначити небезпечний переріз балки та встановити значення поперечної сили і згинаючого моменту в цьому перерізі.

Спочатку складають аналітичний вираз поперечних сил і згинаючих моментів для кожної дільниці як функції текучої координати Z поперечного перерізу.

Q = ƒ(z) M = ƒ(z)

При побудові епюр потрібно користуватись наступними правилами:

1. епюру моментів будують на стиснутому волокні, тобто додатні моменти (і додатні поперечні сили) відкладають вгору від осі, а від'ємні –­­­­ вниз.

2. Користуючись принципом пом'якшених граничних умов, будемо вважати, що в перерізі, де прикладена зосереджена сила, значення поперечної сили змінюється стрибкоподібно, причому стрибок дорівнює модулю цієї сили.

3. На цій же основі будемо вважати, що в перерізі, де прикладена пара сил (момент), значення згинаючого моменту змінюється стрибкоподібно, причому стрибок дорівнює моменту пари.

4. Правильність побудови епюр потрібно перевіряти за допомогою теореми Журавського.

5. На ділянці, де немає рівномірно розподіленого навантаження, епюра моментів, взагалі кажучи, представляє собою нахилену пряму, а епюра поперечних сил – пряму, паралельну вісі.

6. На ділянці, де прикладена рівномірно розподілене навантаження, епюра моментів представляє собою параболу, епюра поперечних сил – нахилену пряму.

7. На кінці балки згинаючий момент дорівнює нулю, якщо там не прикладена пара сил.

8. При побудові епюри для консольних балок початок координат зручно брати на кінці консолі, що нерідко дає можливість обійтися без визначення опорних реакцій. В перерізі, який відповідає жорсткій опорі, поперечна сила дорівнює реактивній силі, а згинаючий момент – реактивному моменту.

Нормальні напруження при чистому згині.

Як було встановлено раніше, в поперечних перерізах балки при чистому згині виникають тільки нормальні напруження розтягу і стиску.

Розглянемо ділянку балки, яка підвергнута деформації чистого згину. Двома поперечними перерізами АВ і СD відокремимо елемент балки безкінцево малої довжини ds. Радіус кривизни нейтрального слою позначимо ρ.

Розглянемо слой волокон mn, який знаходиться на відстані y від нейтрального слою NN. Це волокно в результаті деформації згину подовжилась на величину nn1 . Так як ds – мала відстань, заштриховані трикутники будемо вважати прямолінійними; ці трикутники подібні (n1 F׀׀mE )

∆OEF ~ ∆ F nn1

з подобія трикутників запишемо рівність:

nn1/ ds = y/ρ

Так як ліва частина цієї рівності є відносне подовження, тобто nn1/ ds = ε, то y/ρ = ε.

Використовуючи закон Гука при розтягу і стиску σ = Eε, отримаємо

σ = E y/ρ

З цієї формули видно, що нормальні напруження по висоті розподіленні не рівномірно:

Максимальні напруження виникають в волокнах, які найбільш віддалені від нейтральної вісі. По ширині перерізу нормальні напруження не змінюються.

Отримана формула для розрахунку нормальних напружень незручна.

Для отримання формули, яка пов'язує нормальні напруження з згинаючим моментом використовуємо метод перерізу і розглянемо рівновагу залишеної частини балки.

В площині поперечного перерізу відокремимо безмежно малу площадку dA, в межах якої будемо вважати нормальні напруження σ постійними; тоді нормальна сила dΝ, яка діє на площадку dA, буде дорівнювати

dΝ = σ dA

с кладемо два рівняння рівноваги:

а бо

ρ,Е – величини постійні-виносимо за знак інтеграла.

Т ак як Е і ρ не дорівнюють нулю, то

Ц ей інтеграл – статичний момент інерції площі перерізу відносно вісі х, тобто нейтральної вісі. Рівність нулю статичного моменту означає, що при згині нейтральна вісь проходить через центр ваги площі поперечного перерізу;

Так як при чистому згині згинаючий момент дорівнює зовнішньому моменту Мз = m, то

з відки

- момент інерції поперечного перерізу відносно центральної осі

ЕІ – жорсткість перерізу при згині

Т ак як Мз = const і І= const, то

Максимальні значення напруження будуть мати у волокон найбільш віддалених від нейтральної вісі

W=I/y_max – момент опору згину, або осьовий момент опору [м³],тобто найбільше нормальне напруження розраховується за формулою