Приложение 1 полиномы лежандра
Полиномы Лежандра являются специальными функциями, которые применяются при решении многих теоретических и прикладных задач. Полином Лежандра n-й степени можно определить с помощью производной n-го порядка следующим образом:
(1)
где z - комплексная переменная.
В данном учебном пособии рассматриваются и используются полиномы Лежандра для действительного аргумента x, лежащего в интервале x∈[-1, 1].
С помощью определения (1) легко получить явные выражения полиномов Лежандра действительного аргумента низших степеней:
(2)
Графики перечисленных полиномов приведены на рис.1.
Все полиномы Лежандра Pn(x) имеют следующие граничные значения:
(3)
Нетрудно убедиться, что полиномы Лежандра четной степени являются четными функциями и наоборот.
Важным для практических применений является свойство ортогональности полиномов Лежандра:
(4)
где Qk(x) - любой полином степени k, меньшей n (k < n).
Полиномы Лежандра подчиняются рекуррентному соотношению
(5)
которое, в частности, удобно для последовательного вычисления полиномы высоких степеней.
Рис.1. Графики полиномов Лежандра а) n = 0, 1, 2, б) n = 3, 4.
Приложение 2.
Параметры квадратурных формул Гаусса
Индивидуальное домашнее задание № 1
1. В приведенных задачах числа m, n, k вычислены с некоторой погрешностью. Необходимо вычислить и определить погрешность результата для Х.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
2. Ознакомьтесь с методами приближенного вычисления корней уравнений. Найдите один действительный корень уравнения с точностью 10-5. В ходе решения осуществить следующие шаги:
2.1. Отделить корень уравнения.
2.2. Вычислить с помощью программы значение отдельного корня методами: деление отрезка пополам, хорд, касательных, комбинированным методом, методом итераций. При использовании метода простых итераций найти решение при разных начальных приближениях. Результаты вычислений занести в таблицу.
Вариант задания выбрать из табл. 1.1.
3. Найдите действительный корень уравнения с точностью 10-4, на интервале [a,b]. На первом этапе решения методом деления пополам, уменьшать интервал, содержащий корень, до тех пор, пока его длина не станет меньше 0,2. Потом, применить один из «более» быстрых методов.
1 |
|
11 |
|
2 |
|
12 |
|
3 |
|
13 |
|
4 |
|
14 |
|
5 |
|
15 |
|
6 |
|
16 |
|
7 |
|
17 |
|
8 |
|
18 |
|
9 |
|
19 |
|
10 |
|
20 |
|
ОТЧЕТ О РАБОТЕ
Отчет должен содержать:
1. График исследуемой функции с интервалами отделения корней.
2. Таблицы пошаговых расчетов корня уравнения.
3. Обоснованное заключение о преимуществах и недостатках использования исследованных методов решения применительно к заданному уравнению (для задания 1).
4. Используя схему Гаусса (схема единственного деления и схема полного выбора) решить систему уравнений
5. Решить систему уравнений двумя способами — методом итераций и методом Зейделя. Продолжать итерации до тех пор, пока точность приближенного решения не станет меньше 0,01.
