52.Теореми границі функції

Теорема(про єдність границі функції в точці). Якщо в точці а функція y=f(x) має границю, то ця границя єдина.

Теорема:

Нехай функцій f(x),g(x) і h(x) визначені на множині Х з точкою згущення а, і для всіх х є Х виконується нерівність f(x)<h(x)<g(x) або f(x)=h(x)=g(x). Якщо

то Теорема:

Якщо функції y=f(x) і y=g(х) мають границю в точці Хо то їхня алгебраїчна сума,добуток і частка (при умові що границя знаменника не дорівнює О) також мають границю в цій точці і виконуються рівності :

Доведення:

53.Перша визначна границя функції:

54. Друга визначна границя функції:

55.Нескінченно малі і великі функції

Функція α(х) називають нескінченно малу функцію в точці Хо,якщо границя дорівнює нулю :

Теорема

Алгебраїчна сума і добуток скінченного числа нескінченно малих функцій в точці Хо є нескінченно малою функцією

Теорема

Добуток обмеженої функції і нескінченно малої функції в точці Хо є нескінченно малою функцією в цій точці. f(x)->Xо ,якщо для будь-якого додатного числа n ( як завгодно великого ) існує число дельта ,що для всіх Х з дельта околу точки Хо виконується нерівність |f(x)|>N або |f(x)|=N

Нескінченно малі і нескінченно великі функції пов’язані між собою:

Теорема

Якщо α(х) нескінченно мала функція в точці Хо то функція нескінченно велика функція в цій точці і навпаки .

Теорема

Для того , щоб функція y=f(x) в точці х0 мала границею число А, необхідно і достатньо , щоб функція f(x)-A була нескінченно малою і цій точці.

56. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.

Нехай і нескінченно малі в точці функції. Якщо , то говорять, що в околі точки є нескінченно малою вищого порядку порівняно з , і пишуть .

Якщо , де , то функції і називаються нескінченно малими одного порядку в околі точки .

Якщо , де , додатне число, то функція називається нескінченно малою порядку відносно нескінченно малої функції .

Якщо , то нескінченно малі функції і називаються непорівнянними в околі точки .

Якщо , то функції і називаються еквівалентними нескінченно малими в околі точки . У цьому випадку пишуть .

Теорема. Якщо при й існує границя , то існує границя , причому .

Доведення.

Наведена теорема дає можливість у багатьох випадках спрощувати знаходження границь.

Теорема. Для того, щоб функції і були еквівалентними нескінченно малими в околі точки , необхідно й достатньо, щоб їх різниця була в околі точки нескінченно малою вищого порядку по відношенню до кожної з функцій та .

Доведення. Нехай в околі точки . Тоді

Отже, необхідність доведено. Доведемо достатність.

Нехай .

Звідси маємо

.

Таким чином, , тобто в околі точки .

57. Нехай функція визначена в деякому околі точки .

Функція називається неперервною в точці , якщо .

Наведемо означення неперервності функції, які ґрунтуються на означеннях границі функції за Гейне і за Коші.

Функція називається неперервною в точці , якщо для будь-якої послідовності відповідна послідовність значень збігається до .

Функція називається неперервною в точці , якщо для довільного числа існує число таке, що для всіх , які задовольняють умову , виконується нерівність .

Наведені означення рівносильні.

Функція називається неперервною в точці справа (зліва), якщо .

Отже, функція неперервна в точці , якщо вона неперервна в цій точці як справа, так і зліва.

Покажемо, що неперервна функція характеризується тим, що нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції .

Дійсно, умову можна записати як . Тоді

.

Отже, можна дати наступне означення неперервності функції в точці . Функція називається неперервною в точці , якщо нескінченно малому приростові аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.

Уведене поняття неперервності функції є локальною (місцевою) властивістю. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу , то говорять, що вона неперервна на інтервалі . Якщо при цьому в точці функція неперервна справа, а в точці – неперервна зліва, то говорять, що функція неперервна на відрізку .

Зауважимо, що термін неперервної кривої походить із поняття неперервної функції. Графіком неперервної на функції є неперервна крива ("суцільна крива").

58.

Неперервність складеної функції

 

Теорема (про неперервність складеної функції). Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , причому , то складена функція неперервна, як функція від , у точці .

Доведення. Нехай задано довільне число . Тоді за неперервністю функції у точці знайдеться число таке, що для всіх , які задовольняють умову .

Для числа за неперервністю функції у точці знайдеться число таке, що для всіх , які задовольняють умову .

Отже, для довільного числа знайдеться число таке, що з умови випливає нерівність , а це означає, що функція неперервна в точці .

Можна довести, що всі елементарні функції в області їх визначення неперервні.

Звернемо увагу на те, що з означення неперервності функції у точці випливає

.

59.

Точки розриву функції та їх класифікація

 

Точка називається точкою розриву функції , якщо функція у точці не є неперервною.

Точки розриву класифікують наступним чином.