6.Геометрична інтерпретація комплексних чисел

Вивчаючи комплексні числа, можна використовувати геометричну термінологію і геометричні міркування, якщо встановити взаємно однозначну відповідність між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини. Цю відповідність можна встановити так. Кожному комплексному числу поставимо у відповідність точку координатної площини, тобто точку, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината – коефіцієнту уявної частини. Кожній точці координатної площини поставимо у відповідність комплексне число (мал. 1). Очевидно, що така відповідність є взаємно однозначною. Вона дає можливість інтерпретувати комплексні числа як точки деякої площини, на якій вибрано систему координат. Координатну площину називають при цьому комплексною, вісь абсцис – дійсною віссю, бо на ній розміщені точки, що відповідають комплексним числам , тобто відповідають дійсним числам. Вісь ординат називається уявною віссю – на ній лежать точки, які відповідають уявним комплексним числам .

Мал. 1

Зручною є також інтерпретація комплексного числа як вектором (див. рис. 1). Поставимо у відповідність кожному комплексному числу вектор з початком у точці і кінцем у точці . Ви знаєте, що такий вектор називають радіусом-вектором, а його проекції на осі координат є координатами вектора. Отже, можна сказати, що геометричним зображенням комплексного числа є радіус-вектор з координатами і . Відповідність між множиною комплексних чисел, з одного боку, і множиною точок або векторів площини, з іншого, дає змогу комплексні числа називати точками або векторами і говорити, наприклад, про вектор або про точку .

На малюнку 2 вектори є відповідно геометричними зображеннями комплексних чисел .

Мал. 2

Обидва способи геометричного зображення комплексних чисел рівноцінні, бо будь-якій точці А координатної площини відповідає певний радіус-вектор . Навпаки, кожному радіус-вектору відповідає певна точка – кінець радіуса-вектора

Питання №7.

Алгебраїчна форма запису комплексного числа:

(x;y)=(x;0)+(0;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+iy

Z=x+iy

Тригонометрична форма запису комплексного числа:

Дії над комплексними числами:

1)0=(0;0)

2)

3)Асоціативність додавання:

4)Комутативність додавання:

1’)1=(1;0)

2’)

3’)Асоціативність множення:

4’)Комутативність множення:

5’)Дистрибутивність множення:

Різницею комплексних чисел називають таке комплексне число z, що сума

Часткою двох комплексних чисел називають таке комплексне число z,що

Формула Муавра

піднесення до степеня:

знаходження кореня н-ного степеня:

Питання №8.

Матриці та дії над ними.

• Матрицею розміром m*n називають прямокутну таблицю чисел, записану у вигляді

номер рядка; номер стовпця; m-число рядів; n- число стовпців;

• Матриця у якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців називається квадратною.

Матриці називають рівними, якщо виконується рівність

Якщо хоча б одна умова не виконується ,то ці матриці не є рівними.

• Матриця, яка має 1 рядок називається однорядковою або вектор-рядком

• Матриця, яка має 1 стовпець називається одностовпцевою або вектор-стовпцем.

• Матрицю, яка має 1 рядок і стовпець, ототожнюють з дійсним числом

• Матрицю, всі елементи якої рівні 0, називають нульовою матрицею

• Елементи головної діагоналі

• Квадратна матриця, в якої всі елементи, що лежать поза головною діагоналлю нулі називається діагональною матрицею

• Якщо всі елементи головної діагоналі рівні, то цю матрицю називають скалярною.

• Якщо всі елементи головної діагоналі в скалярній матриці рівні 1, то таку матрицю називають одиничною

• Квадратну матрицю називають трикутною, якщо елементи, які знаходяться нижче (вище) головної діагоналі рівні 0.

Лінійні операції над матрицями: додавання матриць, множення матриці на число.

,

Сумою двох матриць А і В називають матрицю С, елементи якої обчислюють за формулами:

Добутком матриці А на число називають матрицю , елементи якої обчислюються за правилом: . Матрицю називають протилежною до матриці А. Різницею матриці А і В називають суму матриці А і .

Властивості операцій над матрицями:

1. Додавання матриць комутативне

2. Додавання матриць асоціативне

3. 0 нейтральний елемент стосовно додавання

4. (множина матрицю утворює комутативну групу)

5. 

6. 

7. 

8. 1 нейтральний елемент стосовно множення

Якщо рядки матриці А розміру замінити її стовпцями, то отримаємо матрицю розміру , яку називають транспонованою до матриці А і позначають Якщо то матриця є симетричною, а якщо , то матриця є кососиметричною.

Множення матриць

Добуток А*В визначений лише в тому випадку, коли кількість стовпців матриці А рівна кількості рядків матриці В. Добутком матриці А на матрицю В (взятих у вказаному порядку) називають матрицю елементи якої обчислюють за правилом:

Властивості множення матриць:

1. множення матриць НЕ є комутативним

2. множення матриць асоціативне

3. Правий дистрибутивний закон

4. Лівий дистрибутивний закон

5. 

Властивості транспонування матриць:

1. 

2. 

3. 

4. 

Питання №9.

Обернена матриця. Розв’язування систем рівнянь за допомогою оберненої матриці

Квадратна матриця, визначник якої відмінний від нуля називається невиродженою. В протилежному випадку вона вироджена.

Квадратну матрицю В називають оберненою до матриці А, якщо виконуються рівності: ,де одинична матриця того ж порядку, що А і В.

Матриця А має обернену тоді і лише тоді, коли вона невироджена.

Властивості обернених матриць:

1. 

2. 

3. 

4. 

Розв’язування систем лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці:

Питання №10.

Система n лінійних рівнянь з n невідомими. Формули Крамера.

Систему лінійних рівнянь, яка має розв’язки, називають сумісною; система, яка не має розв’язків - несумісна. Сумісна система є визначеною, якщо вона має лише один розв’язок і несумісна, якщо число її розв’язків більше одного. Дві системи є рівносильними, якщо вони мають однакову множину розв’язків.

Записуємо матрицю системи і обраховуємо її визначник. Потім, підставляючи стовбець вільних членів в початкову матрицю на місце стовпців змінних обраховуємо інші визначники, типу Корені обраховуються за формулою (

Питання № 11.

Система m лінійних рівнянь з n невідомими. Метод Гауса. Фундаментальна система розв’язків.

Метод Гауса. Властивості розв’язку системи:

При перестановці будь-яких рівнянь системи місцями, при домноженні будь-якого р-ня системи на число відмінне від 0----розв’язок системи не змінюється. Якщо в системі є декілька пропорційних рівнянь, то залишаємо тільки одне.

Щоб розв’язати систему рівнянь методом Гауса потрібно:

1. Записати розширену матрицю системи

2. Звести її до східчастого вигляду

3. Записати систему, яка відповідатиме зведеній матриці

4. Знайдений корінь підставити в попередні рівняння для знаходження усього розв’язку.

Фундаментальна система розв’язків

Питання №12.

Поняття визначника другого і третього порядків. Властивості визначників.

Визначником другого порядку(детермінантом) називають число, яке ставиться у відповідність квадратній матриці другого порядку, яке позначають і обчислюють за правилом:

Властивості визначників:

1. Рівноправність рядків і стовпців визначника.(При транспонуванні визначник матриці не змінюється )

2. При перестановці двох довільних рядків визначника місцями, його абсолютна величина залишається без змін, а знак змінюється на протилежний

Наслідок: Визначник, який має 2 однакові рядки рівний 0.

3. Спільний множник елементів будь-якого рядка можна винести за знак визначника.

Наслідок 1:Визначник, який містить нульовий рядок, рівний 0.

Наслідок 2: Визначник, який має пропорційні рядки, рівний 0.

4. Якщо всі елементи деякого рядка визначника є сумою двох доданків, то визначник можна представити у вигляді суми двох відповідних визначників.

Наслідок: Величина визначника не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка визначника додати елементи паралельного рядка визначника, помножених на одне і те ж саме число.

Визначником третього порядку називається число, яке ставлять у відповідність квадратній матриці 3-го порядку, яке позначають і обчислюють

За правилом трикутника: величина визначника 3-го порядку дорівнює сумі добутків елементів головної діагоналі та добутків елементів, що лежать на вершинах трикутника, одна із сторін якого є паралельною до головної діагоналі і сумі добутків елементів побічної діагоналі та добутків елементів, що лежать у вершинах трикутника, одна сторона якого є паралельною до побічної діагоналі.

Визначник трикутної матриці рівний добутку елементів головної діагоналі.

Визначник діагональної матриці рівний добутку елементів головної діагоналі

Перестановкою натуральних чисел 1,2,3,…,n називають їх розміщення у певному порядку. Перестановку вигляду (1,2,…, n) називають основною перестановкою. Доведено, що для n натуральних чисел існує n! перестановок.

Два числа у перестановці утворюють інверсію, якщо більше стоїть перед меншим. Перестановку називають парною(непарною), якщо вона має парну(непарну) кількість інверсій. Транспозицією називають заміну двох довільних елементів перестановки місцями. Транспозиція змінює парність перестановки.