4 .7. Дві визначні границі.

Теорема 15 (перша важлива границя).

Має місце вираз: .

Доведення: Нехай . З рис.36 видно, що відрізки АВ=sin x, CD=tg x, дуга ВС=х (в радіанах). З порівнянь площ трикутників ОСВ,

ОСD та сектора ОСВ маємо: .

З іншого боку, , , . Тоді

sin x < x < tg x .

Звідси, . Оскільки , то дійсно . £

Границі-наслідки першої визначної границі:

1. . 2. . 3. . 4. .

Зауваження 5. За допомогою першої визначної границі можна досліджувати невизначеності для виразів з тригонометричними функціями.

Теорема 16 (друга визначна границя, без доведення). Існує наступна границя, яку позначають е:

.

На користь існування числа е можна привести такі не дуже строгі міркування. Дослідимо вираз , скориставшись формулою бінома Ньютона , де - біноміальні коефіцієнти. Запишемо скінченну суму виду

,

яка при зростанні n зберігатиме той же вигляд. Тоді як наближення до шуканої границі можна записати вираз:

Тоді, скориставшись виразом для відповідної геометричної прогресії, можемо виконати верхню оцінку даної суми:

< .

Таким чином, можна очікувати, що має місце подвійна нерівність:

2 < < 3. Беручи достатньо великі n, число е можна обчислити з будь-якою точністю за допомогою комп′ютера. Дійсно, при n=100 маємо е=2,70481; при n=1000 відповідно е=2,71692; n=10000 дає е=2,71815; для n=10000 маємо е=2,71827; для n=1000000 одержимо е=2,71828. Порівнюємо ці результати з більш точними даними для е: 2,7182818.

Границі-наслідки другої визначної границі:

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. .

Зауваження 6. За допомогою другої чудової границі та її наслідків можна досліджувати невизначеності

50.Число e

Послідовність {Хn}

{Хn} =

1. Послідовність монотонно зростаюча;

2. Обмежена зверху;

3. 

51.Границя функцій

Означення:

Точка х₀ називається граничною точкою зкупчення множини х якщо будь-який окіл цієї точки містить хоча б одну точку Xn з множини Х . З означення випливає що будь-який окіл граничної точки містить безліч точок множини Х відмінних від точки Хо.

Теорема: точка х₀ гранична точка множини Х тоді і тільки тоді коли з цієї множини можна виділити послідовність Хn яка збігається до точки х₀.

Означення 1( на мові послідовностей або за Гейне)

Число А називається границею функцією y=f(х) в точці х₀, Хє множині Х (х₀ гранична точка ) якщо для будь-якої збіжної до точки Хо послідовності Хn елементів з множини Х ,які відмінні від самої точки х₀ відповідна послідовність значень функції збіжна до числа А при n прямуючої до безкінечності.

Означення 2 ( в термінах «епсилон-дельта» або за Коші)

Число А називається границею функції y=f(х) в точці Хо якщо для довільного як завгодно малого додатного епсилон існує додатне число дельта таке що для всіх Х з множини Х відмінних від точки х₀ які задовільняють умову |X-Xo| менше дельта виконується рівність |f(x)-А| менше епсилон.

Односторонні границі

Число А називається границею функції y=f(х) хєХ у точці х₀ справа( зліва) і позначаються

А= ; А= ,якщо для будь-якої збіжної до точки Хn (n є N) існує {Xn} х₀ члени якої задовольняють умов Xn> х₀ (Xn< х₀) відповідна послідовність значень функції {f(Xn)} збігаються до числа А.

За озн. Коші:

Число А називається границею функції y=f(х) хєХ у точці х_0, якщо для довільного як завгодно малого додатного існує додатне число дельта таке що для всіх Х з множини Х відмінних від точки х₀ які задовільняють умову Xo<X< Xo+ (Xo- <X< Xo )менше дельта виконується рівність |f(x)-А| менше епсилон.

А=

А=

Функція f(x) має границю в точці Хо лише тоді коли існує границя з права і з ліва у цій точці,які рівні між собою. =>