6 6. Поняття диференційовності функції в точці. Зв'язок між диференційовністю та неперервністю функції.

Функцію

y  f (x) ,що

визначена

на інтервалі

(a; b) ,називають

диференційовною в точці x₀  (a; b) , якщо її приріст у цій точці можна зобразити

у вигляді y  A x  (x) , де A - деяка стала, (x)

- безкінечно мала

при x  0 .

Лінійну частину

приросту

функції називають

A x називають

диференціалом функції y  f (x) в точці x₀

і позначають символом dy .

Теорема: Для того, щоб функція y  f (x) була диференційованою в точці x₀ ,

необхідно і досить, щоб вона мала в цій точці похідну.

Доведення: (Необхідна умова). Нехай функція y  f (x) диференційована в

точці x₀ , тобто приріст y  A x (x),

де (x)  o(x)

- безкінечно мала при

x  0 . Тоді lim

y



(x) 

o(x)

 A .

 lim  A 



 A  lim

x

x

x

x0

x0





x0

Тому похідна f ' (x₀ )

існує, причому f ' (x₀ )  A .

(Достатня умова). Нехай існує похідна функції y  f (x) у точці x₀ , тобто

lim

y

 f ' (x₀ ) .

Тоді

y

 f ' (x₀ )   (x) , де lim (x)  0 .

x

x

x0

x0

Отже y  f ' (x₀ ) x  (x) , де (x)   (x) x . Оскільки

lim

(x)

 lim

 (x) x

 lim

 (x)  0

,

x

x

x0

x0

x0

то (x)  o(x) .

Отже функція

y  f (x)

диференційована в точці

x₀ .

Теорема

доведена.

Теорема: Якщо

функція

y  f (x)

диференційована

в точці

x₀ ,

то вона

неперервна в точці x₀ .

Доведення: Нехай функція y  f (x)

диференційована в точці x₀ , тобто

y  A x  o(x),

x  0 .

Тоді

lim y  A  lim x  lim o(x)  0 ,

x0

x0

x0

що й означає неперервність функції y  f (x)

у точці x₀ . Теорема доведена.