Графический метод решения задач нелинейного программирования

Графический метод можно применить, если задача нелинейного программирования является задачей двух переменных и имеет вид:

F( ) (min),

, .

Геометрическое решение аналогично решению ЗЛП.

Сначала строят ОДР, которая в отличие от ЗЛП не обязательно будет выпуклой. Экстремум функции может достигаться как внутри ОДР, так и на границе.

Далее записывают уравнения линий уровня целевой функции:

F( ) = С,

определяют направление возрастания (убывания) целевой функции. Перемещая линию уровня в нужном направлении в ОДР, получают точки ОДР, в которых целевая функция достигает оптимального значения.

Постановка задачи выпуклого программирования

Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки.

Функция F(X) = F( ), определённая на выпуклом множестве М n-мерного пространства, называется выпуклой на этом множестве, если

(5.21)

для любых точек и любого числа .

Если в неравенстве (5.21) знак заменить на , то получим определение вогнутой функции. Если (5.21) - строгое неравенство, то функция называется строго выпуклой или строго вогнутой.

Свойства выпуклых функций

1. Если F(Х) – выпуклая функция, то - F(Х) вогнутая.

2. Постоянная функция F(Х) = С и линейная функция F(Х) = ax + b являются всюду выпуклыми и всюду вогнутыми.

3. Если F_i(Х) – выпуклые функции ( ), то функция также выпуклая.

4. Если F(Х) – выпуклая функция, то область решений неравенства F(Х) < является либо выпуклым множеством, либо пустым.

5. Если функции ( ) выпуклые ( ), то область решений системы неравенств является выпуклым множеством, либо пустым.

6. Выпуклая (вогнутая) функция, определённая на выпуклом множестве М, непрерывна в каждой внутренней точке этого множества.

7. Всякая дифференцируемая строго выпуклая (вогнутая) функция имеет не более одной стационарной точки. При этом для выпуклой (вогнутой) функции стационарная точка –это всегда точка локального и глобального минимума (максимума).

8. Дважды дифференцируемая функция F(Х) = F ( ) является выпуклой тогда и только тогда, когда

(5.22)

, .

Критерий Сильвестра: Условие (5.22) выполняется тогда и только тогда, когда неотрицательны все главные миноры матрицы вторых частных производных, т.е. определители

, , .

Если все , то неравенство (5.22) выполняется как строгое и, соответственно, функция F(Х) является строго выпуклой.

Если в задаче математического программирования (5.1) – (5.2) целевая функция F(Х) и все функции ( ) системы ограничений являются выпуклыми или вогнутыми, то задача называется задачей выпуклого программирования (ЗВП).

Задача выпуклого программирования формулируется следующим образом. Найти минимум выпуклой (максимум вогнутой) целевой функции

F(Х) = F ( ) → min (max)

и соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений

, ,

где ( ) - выпуклые на некотором множестве М функции.

Из свойств выпуклых функций следует, что любая ЗЛП является частным случаем ЗВП. В общем случае ЗВП является задачей нелинейного программирования. В особый класс ЗВП выделены из-за экстремальных свойств выпуклых функций:

• всякий локальный минимум выпуклой функции (локальный максимум вогнутой функции) является и глобальным;

• выпуклая (вогнутая) функция, заданная на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве глобального максимума и глобального минимума.

Если целевая функция является строго выпуклой (строго вогнутой) и если область решений системы ограничений не пуста и ограничена, то ЗВП всегда имеет единственное решение. В этом случае минимум выпуклой (максимум вогнутой) функции достигается внутри ОДР (в стационарной точке) или на границе области, если внутри неё нет стационарной точки.

В общем случае множество оптимальных решений ЗВП – выпуклое множество.

Пример. Решить графически задачу:

F( ) = → min,

Решение. 1) Покажем, что данная задача является ЗВП. Частные производные функции F( ): , , , , . Матрица вторых частных производных имеет вид А = . Её главные миноры: . Условия критерия Сильвестра выполняются, следовательно, функция F( ) является выпуклой, а поставленная задача является ЗВП.

2) Решим ЗВП графическим методом. ОДР данной задачи – многоугольник ОABC (рис. 45).

Построим линию уровня F( ) = С и определим направление убывания функции F( ). Уравнения линий уровня имеют вид:

= С.

При С = 1 линия уровня = 1 определяет окружность с центром в точке (1, 2) и радиусом R = 1. Значение функции F возрастает при перемещении от центра окружности, убывает - при перемещении к центру окружности. Следовательно, минимум функции F достигается в точке (1, 2), которая является стационарной точкой. F_min (1, 2) = 0.

А(0, 3)

B(3, 3)

C(3, )

O^’(1, 2)

А(0, 3)

Рис.2. Графическое решение ЗВП

Заметим, что максимум функции F достигается в точках О и В:

F_max (0, 0) = (3, 3) = 5.