Алгоритм нахождения глобального экстремума функции
1) Найти стационарные точки внутри заданной области D и вычислить в них значения функции.
2) Исследовать функцию на экстремум на границе области D.
3) Сравнить значения функции, полученные в пунктах 1 и 2. Наибольшее из них будет глобальным максимумом (наибольшим значением функции во всей области), наименьшее - глобальным минимумом (наименьшим значением функции во всей области).
Условным экстремумом функции F(X) = F( ) называется экстремум, достигнутый при условии, что переменные удовлетворяют уравнениями (уравнениям связи)
(
)
= 0,
Задача определения условного экстремума совпадает с задачей нелинейного программирования.
Пример. Дана производственная функция
F(
)
=
,
где F( ) - объём производства; - затраты факторов производства.
Требуется определить такие затраты факторов производства (переменные ), удовлетворяющие условиям
,
при которых объём производства максимален.
Решение. ММ данной задачи нелинейного программирования имеет вид:
F(
)
=
.
Решение
задачи равносильно нахождению условного
экстремума, где
- уравнение связи.
А(0, 3)
B(6,
0)
0
Рис.1. Область допустимых решений задачи
Уравнение
связи вместе с условиями неотрицательности
определяют на плоскости
замкнутую область ОАВ
(рис. 44). По
теореме Вейерштрасса максимум функции
может достигаться либо внутри области,
либо на границе.
Из
уравнения связи выразим одну переменную
через другую, например,
выразим через
.
Подставим выражение
в целевую функцию F(
),
получим функцию одного переменного
F(
)
=
.
Найдём
глобальный экстремум функции F(
),
.
Для этого вычислим производную
,
приравняем её к нулю. Полученная
стационарная точка
принадлежит отрезку
.
Значение целевой функции F(
)
в стационарной точке и на концах отрезка:
;
F(0)
= - 7,2; F(3)
= - 2,7.
Следовательно,
глобальный экстремум достигается при
.
Поскольку
,
то
.
Экономическая
интерпретация найденного решения
такова: максимальный объём производства,
равный
(натуральных или стоимостных единиц),
достигается при условии, что затраты
производственных факторов составляют
ед.,
ед.
Метод множителей Лагранжа
Метод множителей Лагранжа – это способ определения условного экстремума функции F(X) = F( ) при ограничениях
(
)
= 0,
с помощью функции Лагранжа:
.
В
функции Лагранжа
- постоянные множители (множители
Лагранжа)
имеют следующий экономический смысл.
Пусть целевая функция F(X)
= F(
)
– доход, соответствующий плану X
= (
),
а функции
(
)
– издержки i-го
ресурса, соответствующие этому плану.
Тогда
- цена (оценка) i-го
ресурса, характеризующая изменение
экстремального значения целевой функции
в зависимости от изменения размера i-го
ресурса (маржинальная оценка).
Функция Лагранжа является функцией n + m переменных:
L(X)
= L(
).
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:
Так
как
= 0, то они входят в уравнения связи.
Таким образом, задача нахождения
условного экстремума функции F(X)
сводится к нахождению локального
экстремума функции L(X).
Пример.
Исследовать на экстремум функцию F(
)
=
при условии, что переменные
удовлетворяют уравнению
.
Решение. Найдём экстремум функции F( )с помощью функции Лагранжа:
L(
)
=
+
.
Найдём частные производные функции Лагранжа и приравняем их к нулю:
Решив систему, получим стационарные точки ( ) и вычислим в них значение целевой функции F( ):
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Сравнив
полученные значения, видим, что
;
.