Методические указания к проведению лекционного занятия Тема №9.5. Динамическое программирование

План:

1. Постановка задачи нелинейного программирования

2. классические методы оптимизации, включая метод множителей Лагранжа;

3. графический метод решения задач нелинейного программирования;

4. приближённые методы, основанные на идее аппроксимации функций (метод кусочно-линейной аппроксимации и градиентный метод).

Постановка задачи нелинейного программирования

Если в задаче математического программирования целевая функция F(Х) или хотя бы одна из функций ( ) системы ограничений являются нелинейными, то задача называется задачей нелинейного программирования.

Задачи нелинейного программирования представляют практический интерес, т.к. основная часть экономических показателей (прибыль, себестоимость, производственные затраты и др.) в действительности имеют нелинейную зависимость от объёма производства, расхода ресурсов и т.п.

К задачам нелинейного программирования относятся задачи выпуклого, динамического, стохастического программирования. Простейшей задачей нелинейного программирования является задача минимизации функции нескольких переменных без дополнительных ограничений.

В силу разнообразия задач нелинейного программирования не существует единого метода их решения. В данном пособии рассмотрим:

• классические методы оптимизации, включая метод множителей Лагранжа;

• графический метод решения задач нелинейного программирования;

• приближённые методы, основанные на идее аппроксимации функций (метод кусочно-линейной аппроксимации и градиентный метод).

Классические методы оптимизации

Классические методы оптимизации – это методы классической теории дифференциального исчисления функции многих переменных, основанные на понятиях локального, глобального и условного экстремумов.

Функция F(X) = F( ) имеет локальный максимум (или минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (или меньше), чем её значение в любой другой точке Х некоторой окрестности точки , т.е. (или ).

Максимум или минимум функции называется её экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если в точке функция F(X) имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю:

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками.

Дифференциал 2-го порядка функции F(X) = F( ) равен

сумме произведений частных производных 2-го порядка на соответствующие приращения аргументов:

.

Достаточные условия экстремума:

• в стационарной точке функция F(X) имеет максимум, если < 0, и минимум, если > 0 при любых и , не обращающихся в нуль одновременно;

• если принимает в зависимости от и как положительные, так и отрицательные значения, то в точке экстремума нет;

• если = 0 не только при нулевых приращениях и , то вопрос об экстремуме остаётся открытым.

Для функции 2-х переменных F(X) = F( ) достаточные условия формулируются следующим образом.

Пусть - стационарная точка функции F( ). Обозначим частные производные 2-го порядка:

, , , ,

из которых составим определитель:

.

Тогда:

• если Δ > 0, то функция в точке имеет максимум при < 0 (или < 0) и минимум при > 0 (или > 0);

• если Δ < 0, то в точке экстремума нет;

• если Δ = 0, то требуются дополнительные исследования.

Пример. Исследовать на экстремум функцию

F( ) = .

Решение. Найдём частные производные: , , приравняем их к нулю:

Решив систему линейных уравнений, получим , т.е. (0, 0) – стационарная точка.

Найдём частные производные 2-го порядка: , = , , из которых составим определитель:

.

Так как Δ > 0 и < 0, то функция F( ) = имеет максимум в точке (0, 0).

Замечание. Функция вида F( ) = называется производственной функцией Аллена и служит для описания производственных процессов, в которых чрезмерный рост любого из факторов оказывает отрицательное воздействие на объём выпуска. Такая функция обычно используется для описания мелкомасштабных систем с ограниченными возможностями переработки ресурсов.

Функция F(X) = F( ) имеет глобальный максимум (наибольшее значение) в точке заданной области D, если значение функции в этой точке больше, чем её значение в любой другой точке Х области D, т.е. .

Функция F(X) = F( ) имеет глобальный минимум (наименьшее значение) в точке заданной области D, если значение функции в этой точке меньше, чем её значение в любой другой точке Х области D, т.е. .

Теорема Вейерштрасса. Дифференцируемая функция F(X) в замкнутой и ограниченной области достигает своих наибольшего и наименьшего значения или в стационарной точке, или на границе области.