Уравнение плоскости в отрезках

Рассмотрим плоскость, пересекающую все три координатные оси и не проходящую через начало координат. Уравнение этой плоскости запишем в общем виде , где ни один из коэффициентов не равен нулю. Обозначим через величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат (рис. 8). Т.к. точка лежит на плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению (3) : . Аналогично . Подставляя значения в уравнение (3) плоскости, получим:

.

Сокращая на (по условию), получим:

(10)

Уравнение (10) называется уравнением плоскости в отрезках.

Взаимное расположение плоскостей

Пусть даны две плоскости .

Найти угол между двумя плоскостями и , это значит найти угол между их нормальными векторами и . Из формулы скалярного произведения двух векторов имеем:

(11)

Для того чтобы плоскости 𝛼 и 𝛽 были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы их нормальные векторы были коллинеарны, т.е. чтобы их координаты были пропорциональны:

(12)

Для того чтобы плоскости 𝛼 и 𝛽 были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их нормальные векторы были перпендикулярны, что эквивалентно условию:

(13)

Расстояние точки от плоскости

Даны нормальное уравнение плоскости и точка . Требуется найти расстояние точки до плоскости 𝛼 (рис. 12).

Проведём через точку плоскость , уравнение которой в нормальной форме будет иметь вид:

,

где - расстояние плоскости от начала координат.

Условимся называть отклонением данной точки от данной плоскости число d, равное длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость, взятой со знаком +, если точка и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости, и со знаком -, если они лежат по одну сторону от плоскости; для точек, лежащих на плоскости, отклонение равно нулю. Ясно, что расстояние от данной точки до плоскости равно абсолютной величине отклонения.

Из рисунка 12 видно, что искомое расстояние , но из уравнения плоскости имеем:

,

следовательно,

(14)

Таким образом, чтобы вычислить расстояние точки от плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения плоскости подставить координаты заданной точки и взять абсолютную величину полученного результата.

Прямая линия. Различные виды уравнения прямой Общие уравнения прямой линии

Через каждую прямую проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют её в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно, представляют собой уравнения этой прямой. Вообще всякие две не параллельные между собой плоскости

определяют прямую их пересечения , т.е.

(15)

Уравнения (15), рассматриваемые совместно, называются общими уравнениями прямой.

Канонические уравнения прямой линии

Положение прямой линии в пространстве будет вполне определено, если зададим на прямой определённую точку и вектор , отличный от нулевого, которому прямая параллельна. На прямой выберем произвольную точку и образуем вектор . Тогда векторы и будут коллинеарными, следовательно, их координаты пропорциональны, т.е.

(16)

Уравнения (16) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Замечание. Каноническое уравнение прямой на плоскости будет иметь вид:

Обозначим: , тогда уравнение прямой можно переписать в виде: , где угловой коэффициент.