Интегралы от иррациональных функций

1. Рассмотрим интеграл , где рациональная функция своих аргументов.

Пусть общий знаменатель дробей . Сделаем замену: . Тогда каждая дробная степень выразится через целую степень и, следовательно, подынтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от .

2. Интегралы вида сводятся к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где общий знаменатель дробей .

3. Интегралы от дифференциальных биномов , где рациональные числа выражаются через конечную комбинацию элементарных функций в следующих трех случаях:

а) если целое число;

б) если целое число, с помощью подстановки , где знаменатель дроби ;

в) если целое число, с помощью подстановки .

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интеграл вида . Покажем, что этот интеграл с помощью подстановки всегда сводится к интегралу от рациональной функции. Выразим и через , а следовательно, и через :

Таким образом .

Рассмотренная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида . Поэтому ее иногда называют «универсальной тригонометрической подстановкой». Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям. Поэтому наряду с «универсальной» подстановкой бывает полезно знать также другие подстановки, которые в некоторых случаях быстрее приводят к цели.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. , где и таковы, что по крайней мере одно из них нечетное число. Допусти для определенности, что , тогда

6. 

Возводя в степень и раскрывая скобки, получим члены, содержащие в четных и нечетных степенях. Члены с нечетными степенями интегрируются, как указано в случае 5. Четные показатели степеней снова понижаются по формулам и .

7. . Если оба показателя – четные, причем хотя бы один из них отрицателен, то следует сделать замену или .

8. Интегралы вида вычисляются при помощи следующих формул :

Определённый интеграл Определенный интеграл как предел интегральных сумм, его свойства

Если функция непрерывна на отрезке и если:

1. разделить этот отрезок произвольным способом на частичных отрезков длиною ,

2. выбрать в каждом частичном отрезке по одной произвольной точке

3. вычислить значения функции в выбранных точках,

4. составить сумму ,

то она называется интегральной суммой функции на отрезке .

По-разному деля отрезок на частичных отрезков и по-разному выбирая в них по одной точке , можно для всякой заданной функции и всякого заданного отрезка составить бесчисленное множество различных интегральных сумм. При этом оказывается, что все эти различные интегральные суммы при неограниченном возрастании и при стремлении к нулю длины наибольшего частичного отрезка, имеют общий предел.

Общий предел всех интегральных сумм функции на отрезке называется определенным интегралом от функции в пределах от до и обозначается

Определенный интеграл обладает следующими свойствами:

1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

4. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Н ь ю т о н а – Л е й б н и ц а

- определенный интеграл равен разности значений неопределенного интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.