Скалярное произведение двух векторов

Углом между векторами и называется угол , на который следует повернуть один из векторов, для того чтобы их направления совпали (рис.3).

Условимся в дальнейшем под углом между двумя векторами понимать угол , удовлетворяющий условию .

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается или , таким образом

(6)

Теорема 1. Для того, чтобы два вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть векторы и ортогональны, т.е. . Тогда , и согласно формуле (6) скалярное произведение равно нулю.

2. Достаточность. Пусть . Если один из векторов является нулевым, то утверждение доказано, т.к. нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать ортогональным любому вектору. Если же и , то и . Тогда из формулы (6) и условия следует, что . Значит , т.е. векторы и ортогональны.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию второго вектора на первый, т.е.

;

4. ;

5. 

Пусть даны два вектора, разложенные по базису :

.

Найдем

. Принимая во внимание, что базис ортонормированный, т.е. , получим . Таким образом, скалярное произведение двух векторов, заданных координатами равно сумме произведений одноименных координат, т.е.

( 7 ).

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов, заданных координатами является:

( 8 )

Из формулы (6) получим формулу для косинуса угла между векторами и :

( 9 )

Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением двух векторов и называется новый вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от к вокруг полученного вектора представлялся происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора (рис.4). Для векторного произведения и приняты обозначения

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Из определения векторного произведения следует, что

.

5. .

Пусть даны два вектора, разложенные по базису :

.

. Полученное выражение можно записать более компактно, если ввести определитель третьего порядка, у которого первая строка состоит из базисных переменных , вторая строка из координат вектора и третья строка из координат вектора :

( 10 )

Смешанное произведение трех векторов

Дана упорядоченная тройка ненулевых векторов . Если перемножить на векторно и полученный результат умножить на вектор скалярно, то получим число v, которое называется векторно-скалярным, или смешанным, произведением векторов и обозначается символом или ;

Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. Для того, чтобы выяснить геометрический смысл смешанного произведения, построим параллелепипед на векторах , приведя их к общему началу (рис.5). Обозначим ; длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и . Смешанное произведение равно , где , а высота параллелепипеда. Заметим, что получается , если угол острый, и , если угол тупой. Таким образом, установлено: смешанное произведение трех векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , приведенных к общему началу, взятому со знаком «плюс», если образуют тройку векторов, одноименную с основной (т.е. правую), и со знаком «минус» в противном случае.

2. Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке сомножителей , т.к. при этом получаются равновеликие параллелепипеды, ребра которых сохраняют взаимную ориентацию.

3. Смешанное произведение меняет знак при перестановке любых двух сомножителей, например, , т.к. при этом получаются равновеликие параллелепипеды, но ориентация ребер меняется.

Три вектора называются компланарными, если будучи приведенными к общему началу они лежат в одной плоскости.

4. Смешанное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители компланарны.

Пусть вектора заданы своими проекциями на координатные оси:

_{Составим смешанное произведение} . Для этого умножим на векторно:

Теперь найдем скалярное произведение вектора и , как сумма произведений одноименных координат:

Правую часть этого равенства можно рассматривать как разложение написанного ниже определителя по элементам последней строки. Поэтому имеем

Из геометрического смысла смешанного произведения следует, что векторы компланарны тогда и только тогда, когда равно нулю их смешанное произведение. Таким образом, заключаем, что условие

необходимо и достаточно для компланарности векторов .

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я