Обратная матрица

Пусть имеется невырожденная квадратная матрица го порядка

, (2)

т.е. матрица, у которой определитель не равен нулю.

Обратной для данной матрицы вида (2) называется матрица го порядка, если произведение матрицы на матрицу равно единичной матрице , т.е. если

.

Присоединенной матрицей к данной матрице (1) называется матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы .

Для определения обратной матрицы поступают следующим образом:

1. Пусть дана матрица (2)

2. Составим транспонированную матрицу

3. Составим присоединенную матрицу

4. Вычислим определитель матрицы (2)

5. Обратная для данной матрицы (2) матрица получается из присоединенной к матрицы путем умножения на число , т.е. вычисляется по формуле

.

Примечание. Обратную матрицу можно вычислить и с помощью элементарных преобразований. Любую квадратную матрицу путем элементарных преобразований только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице . Если совершенные над матрицей элементарные преобразования в том же порядке применить к единичной матрице , то в результате получится обратная матрица . Удобно совершать элементарные преобразования над матрицами и одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. При отыскании канонического вида квадратной матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. В случае, когда одновременно надо найти обратную матрицу (если таковая существует), в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Решение системы линейных неоднородных уравнений с неизвестными

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных:

Матрица, полученная из матрицы путем добавления к ней справа столбца свободных членов , называется расширенной матрицей данной системы и обозначается символом :

.

Относительно данной системы имеет место следующая теорема:

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы .

Не доказывая теорему, заметим, что ранг матрицы , как это следует из определения расширенной матрицы, не может быть больше ранга расширенной матрицы . Следовательно, ранг матрицы меньше ранга расширенной матрицы или равен ему.

В теореме Кронекера-Капелли утверждается, что если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы , то данная система совместна, если – меньше, то система несовместна.

Если система совместна, то решение ее находят, пользуясь следующим правилом:

- если , то система имеет единственное решение;

- если , то система имеет бесчисленное множество решений.

Решение системы линейных однородных уравнений с неизвестными

Пусть дана система линейных однородных уравнений с неизвестными:

Так как последняя система получена из системы предыдущего параграфа путем замены свободных членов нулем, то для нее имеет место теорема Кронекера-Капелли. Но так как расширенная матрица для системы однородных уравнений получается из матрицы системы добавлением столбца, состоящего из нулей, то ранг матрицы этой системы всегда равен рангу расширенное матрицы , т.е. однородная система всегда совместна. При этом

- если , то однородная система имеет единственное нулевое решение (или, как говорят, тривиальное решение;

- если , то однородная система имеет ненулевое решение.

В Е К Т О Р Ы