Исследование функции

С помощью производной можно изучить различные свойства функций. Ниже доказаны теоремы о тех или иных свойствах функций.

Условия монотонности функции. Пусть функция определена в промежутке . Рассмотрим две точки и этого промежутка и соответствующие приращения аргумента и функции .

Теорема. Если в промежутке функция дифференцируема и возрастает (убывает), то ее производная в этом промежутке не отрицательна (не положительна), т.е. .

Действительно, если возрастающая, то при и при . В обоих случаях , а следовательно, .

Теорема. Если функция непрерывна в и дифференцируема в , причем , то эта функция возрастает (убывает) в .

Действительно, согласно формуле конечных приращений для произвольных и из имеем . Следовательно, если в и , то и данная функция возрастает в . Если же и , то и функция убывает.

Максимум и минимум функции. Экстремумы. Пусть функция непрерывна в промежутке и - точка этого промежутка.

Определение. Функция имеет в точке максимум (минимум), если значение функции в точке является наибольшим (наименьшим) среди ее значении в какой-либо окрестности точки .

Это значит существует такое число , что , выполняется неравенство .

Если функция имеет в точке максимум или минимум, то говорят, что она имеет в этой точке экстремум, а сама точка называется точкой экстремума. Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что в случае экстремума неравенства не обязаны выполняться для всех значений в области определения функции, а лишь в некоторой окрестности точки (за исключением ).

В случае максимума график функции имеет вершину, и точке максимума соответствует ордината , наибольшая среди соседних ординат. Очевидно, функция может иметь несколько максимумов, причем иной максимум может быть меньше другого минимума. На рис.8 .

Наибольшее значение функции в промежутке - это не обязательно наибольший из максимумов; это может быть значение функции на границе промежутка, например в точке (рис.8).

Н е о б х о д и м о е у с л о в и е с у щ е с т в о в а н и я э к с т р е м у м а.

Теорема. Если дифференцируемая в окрестности точки функция имеет в этой точке экстремум, то .

В сущности это другая формулировка теоремы Ферма, все условия здесь выполнены, а поэтому имеет место и ее заключение.

Для дифференцируемой функции условие является необходимым условием экстремума. Функция может имеет в точке экстремум и не быть в этой точке дифференцируемой (рис.9). Следовательно необходимо, чтобы в точке экстремума производная функции либо не существовала, либо была равна нулю.

Значения аргумента, при которых производная равна нулю или имеет разрыв, называются критическими значениями.

Д о с т а т о ч н о е у с л о в и е с у щ е с т в о в а н и я э к с т р е м у м а. Условимся в следующем: будем говорить, что «производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку », если в некоторой окрестности точки выполняются неравенства: и . Аналогично, если и , то производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через .

Теорема. Пусть функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности критической точки (в самой точке производная может не существовать). Если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке функция имеет максимум (минумум).

Доказательство. Предположим, что производная меняет знак с плюса на минус. Рассмотрим значение , меньшее , и напишем формулу конечных приращений для и промежутка : , где и . По условию при и поэтому , т.е. .

Если же , то из аналогичной формулы Лагранжа и условия следует, что , т.е. опять . Итак, в обоих случаях , и в соответствии с определением понятия максимума функция имеет максимум в точке .

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Отсюда следует п р а в и л о исследования функции на экстремум с помощью первой производной. Пусть в дана функция :

1. находим первую производную,

2. находим критические значения,

3. выясняем знак слева и справа от каждой критической точки,

4. выносим суждение об экстремуме в соответствии с теоремой о достаточном условии существования экстремума,

5. вычисляем значения функции в точках экстремума.

Достаточное условие существования экстремума можно выяснить и с помощью второй производной на основании теоремы, которую мы приводим без доказательства:

Теорема. Пусть функция имеет в точке и ее окрестности непрерывные первую и вторую производные, причем . Тогда функция имеет в точке максимум (минимум), если .

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в промежутке можно поступить так: 1) найти критические значения и присоединить к ним точки и , 2) вычислить значения функции в каждой из этих точек и выбрать среди этих значений наибольшее и наименьшее.

Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Пусть функция дифференцируема в промежутке . Тогда ее график имеет касательную в каждой точке. Кривая называется выпуклой (вогнутой) в промежутке , если все ее точки лежат ниже (выше) любой ее касательной в этом промежутке (рис.10). Из этого определения следует, что на участке выпуклости, так же как и на участке вогнутости, касательные к графику функции не пересекаются с самим графиком и имеют с ним каждая свою единственную общую точку – точку касания. Точки, отделяющие выпуклые части графика функции от его вогнутых частей, называются точками перегиба. Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой над нею.

Для решения вопроса о направлении вогнутости кривой, заданной уравнением , рассмотрим в окрестности точки знак разности между ординатой графика функции графика функции и ординатой точки касательной к этому графику в точке : . Поэтому разность ординат, преобразованная с помощью формулы конечных приращений, будет равна

.

Используя еще раз формулу конечных приращений применительно к функции , получим

,

где произведение всегда положительно. Следовательно, знак левой части вполне определяется знаком второй производной: если , то и кривая вогнута, если , то и кривая выпукла. Таким образом пришли к следующему утверждению:

Теорема. Пусть в промежутке функция имеет вторую производную, которая сохраняет знак. Тогда кривая в этом промежутке выпукла (вогнута), если в выполнено условие .

В точке перегиба вторая производная может не существовать.

Асимптоты. Перейдем к изучению бесконечных ветвей графика функции , если такие ветви имеются. Бесконечной ветвью кривой называется такая ее часть, на которой имеются точки, сколь угодно далекие от начала координат. Например, окружность не имеет бесконечной ветви, а парабола имеет две бесконечных ветви.

Асимптотой бесконечной ветви кривой называется прямая расстояние до которой от точки кривой стремится к нулю когда точка вдоль этой ветви неограниченно удаляется от начала координат. Если обозначить через расстояние от начала координат до точки (рис.11), то . Различают асимптоты вертикальные и наклонные.

В е р т и к а л ь н ы е а с и м п т о т ы. Из определения асимптоты следует, что если при , или при , или при , то прямая есть асимптота кривой (рис.11).

Правило нахождения вертикальных асимптот таково: 1) находим точки разрыва функции, 2) исследуем поведение функции при стремлении аргумента слева и справа к каждой из этих точек. Если при этом окажется, что функция бесконечно большая, то есть уравнение вертикальной асимптоты.

Н а к л о н н ы е а с и м п т о т ы изображаются уравнением вида . Заметим, что если бесконечная ветвь имеет наклонную асимптоту (с углом наклона ), то вместе с условием будет выполнено условие , т.к. , где (рис.11). Здесь величина , поэтому имеем

,

т.е. разность ординат кривой и асимптоты есть величина бесконечно малая при . Но тогда и величина бесконечно малая. Поэтому

.

Отсюда следует, что

.

Зная , находим величину из равенства :

Общая схема исследования функции. Пусть дана функция . Можно рекомендовать следующую схему ее исследования:

1. находим область определения функции;

2. находим точки разрыва функции и односторонние пределы в этих точках;

3. находим точки пересечения с осями координат;

4. выясняем периодичность функции;

5. выясняем четность или нечетность функции;

6. находим промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы;

7. находим промежутки выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба;

8. находим асимптоты кривой;

9. при недостаточности сведений о кривой находим дополнительные точки;

10. строим график функции.