Основные правила дифференцирования

Пусть и - дифференцируемые функции.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

2. Производная алгебраической суммы двух дифференцируемых функций равна сумме их производных:

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

Доказательство:

а) ;

б)

в)

г) , т.к. .

4. Производная частного двух дифференцируемых функций при имеет следующее выражение:

В частности: ; , где

5. Производная сложной функции , составленной из дифференцируемых функций и , равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной :

6. Если функция имеет при некотором значении отличную от нуля производную, то обратная функция имеет в соответствующей точке производную , равную единице, деленной на :

7. Пусть зависимость от не задана непосредственно, а вместо этого задана зависимость обеих переменных и от некоторой третьей, вспомогательной, переменной (называемой параметром):

Предположим, что функция имеет обратную функцию . Тогда, очевидно, является функцией от : .

Если функции имеют производные, то и функция имеет производную. Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции имеем , где (согласно правилу дифференцирования обратной функции) . Поэтому при получаем окончательно

8. Пусть значения двух переменных и связаны между собой некоторым уравнением, которое символически обозначим так: . Такое задание функции от называется неявным заданием. Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, т.е. не представляя в виде . Следует учесть, что если аргумент функции, то ; а если не аргумент, а функция от , то производная равна не единице, а .

Допустим, что функция задана уравнением , то , откуда .

9. Сложной показательной функцией называется функция, у которой и основание и показатель степени являются функциями от , например, , вообще, всякая функция вида . При определении производной таких функции применяется предварительное логарифмирование.

Зная, что , получим

Гиперболические функции

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций вида и . Эти комбинации рассматривают как новые функции и обозначают: гиперболический синус

гиперболический косинус

гиперболический тангенс

гиперболический котангенс

Из определения функций и следуют соотношения, аналогичные соотношениям между соответствующими тригонометрическими функциями: