Предел функции при

Функция не определена при , т.к. числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Найдем предел этой функции при .

Рассмотрим окружность радиуса 1 (рис.2); обозначим центральный угол через , при этом . Из рисунка непосредственно следует:

Площадь < площади сектора < площади (1)

;

;

.

Неравенства (1) после сокращения на перепишется так:

Разделив все члены на , получим или . Это неравенство выведено в предположении, что ; замечая, что , заключаем, что оно верно и при . Вычислим предел

Однако и на основании свойства (5) о пределах

( 2 )

Предел функции при

Предварительно рассмотрим переменную величину , где возрастающая переменная величина, принимающая значения натурального ряда чисел 1, 2, 3, . . .

Теорема. Переменная величина при имеет предел, заключенный между числами 2 и 3.

Доказательство. По формуле бинома Ньютона имеем:

( 3 )

Произведя элементарные алгебраические преобразования, получим:

Из последнего равенства следует, что переменная величина возрастающая переменная величина при возрастающем .

Действительно, при переходе от значения к значению каждое слагаемое последней суммы возрастает и т.д. и добавляется еще один член.

Покажем, что эта величина ограничена. Заметим, что и т. д. Тогда

Замечая, что , можем написать неравенство , но образуют геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом . Следовательно, ;

Получаем неравенство , т.е. переменная величина ограничена. Возрастающая и ограниченная последовательность имеет предел ( п.4 свойства пределов). Этот предел обозначается буквой , таким образом,

Число иррациональное число.

Число принято за основание системы логарифмов, называемых натуральными. Натуральный логарифм обозначается символом . Установим связь между натуральными и десятичными логарифмами. Для этого, логарифмируя по основанию тождество , получим равенство . При это равенство дает . При то же равенство дает .

Непрерывность функции

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел при стремлении к и этот предел равен значению функции в точке :

Если это условие не выполнено, то точка называется точкой разрыва функции .

Для непрерывности функции в точке необходимо (как, впрочем, и достаточно), чтобы она была определена в этой точке, чтобы существовали односторонние пределы слева и справа: и чтобы имело место равенство трех чисел .

Если существуют односторонние пределы, но нарушено какое-либо из этих равенств, то называется точкой разрыва первого рода функции .

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует (в частности, равен ₎ , то называется точкой разрыва второго рода функции .

Непрерывные функции обладают следующими свойствами:

Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное двух функций, непрерывных в точке , также являются функциями, непрерывными в точке (в случае частного предполагается, что знаменатель не обращается в нуль в этой точке).

Теорема 2. Все основные элементарные функции непрерывны там, где они определены.

Теорема 3. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна.

Теорема 4. (Теорема Вейерштрасса). Функция , непрерывная в замкнутом промежутке , достигает в этом промежутке своего наибольшего и своего наименьшего значений, т.е. существуют такие точки и промежутка , что выполняются неравенства и .