МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Филиал федерального государственного бюджетного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Уфимский государственный нефтяной технический университет» в г. Салавате
КУРС ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»
«Линейная алгебра»
«Векторная алгебра»
«Аналитическая геометрия»
«Дифференциальное исчисление»
«Функции многих переменных»
«Комплексные числа»
«Неопределенный и определенный интегралы»
( Первый семестр )
Составитель: Хазиев Ф.М.
Салават 2015
О п р е д е л и т е л и
Определители второго порядка
Определителем
второго порядка называется число,
определяемое равенством
и обозначается
.
Схема вычисления определителя второго порядка
Определители третьего порядка
Определителем
третьего порядка называется число,
определяемое равенством
и обозначается
Схема вычисления определителя третьего порядка
Если
из определителя
вычеркнуть одну
строку и один столбец, на пересечении
которых стоит некоторый элемент, то
получится определитель второго порядка,
который называется минором
определителя
,
соответствующим этому элементу. Так,
например, если из определителя
вычеркнуть вторую
строку и третий столбец
,
то минором
элемента
будет определитель второго порядка
и обозначается
.
Условимся называть
алгебраическим
дополнением
некоторого элемента
соответствующий ему минор, взятый со
знаком плюс или минус, смотря по тому,
будет ли сумма номеров строки и столбца,
которым принадлежит данный элемент,
четным или нечетным числом, т.е.
Вернемся к определителю третьего порядка:
Заметим,
что в скобках стоят алгебраические
дополнения элементов
,
соответственно. Поэтому определитель
можно переписать в виде
.
О последнем выражении говорят, что
определитель разложен по элементам
первой строки. Легко проверить, что
аналогичная формула имеет место и по
отношению к любому столбцу, а значит, и
к любой строке.
Основные свойства определителей:
При замене строк столбцами величина определителя не меняется.
При перестановке двух столбцов (или строк) определитель меняет лишь знак.
Определитель с двумя одинаковыми столбцами (или строками) равен нулю.
Сумма произведений элементов некоторого ряда (столбца или строки) на алгебраические дополнения этих элементов равна определителю, а сумма произведений элементов некоторого ряда (столбца или строки) на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда (столбца или строки) равна нулю.
Множитель, общий элементам некоторого ряда (столбца или строки), можно выносить за знак определителя.
Определитель равен нулю, если все элементы некоторого его ряда (столбца или строки) равны нулю.
Если элементы некоторого ряда (столбца или строки) представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, у которых элементы рассматриваемого ряда равны соответственным слагаемым.
8. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторого ряда (столб- ца или строки) прибавить (или от них вычесть) элементы параллельного ряда (столбца или строки), предварительно умножив эти последние на один и тот же произвольный множитель.
Определителем
го
порядка
называется сумма произведений элементов
какого-нибудь столбца (или строки)
матрицы на их алгебраические дополнения.
М А Т Р И Ц Ы
Определение.
Матрицей
называется совокупность
чисел, расположенных в виде прямоугольной
таблицы, содержащей
строк и
столбцов и записывается в виде
,
,
(1) или сокращенно
,
,
.
- элемент матрицы,
номер
строки,
номер
столбца.
Две матрицы, имеющие одинаковое число строк и одинаковое число столбцов, называются матрицами одинакового типа. Для матриц одинакового типа устанавливается понятие их равенства: две матрицы считаются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.
Матрица, состоящая
из одной строки или одного столбца,
называется соответственно вектор-строкой
или вектор-столбцом.
Матрица типа
,
все элементы которой равны нулю,
называется нулевой
матрицей и
обозначается через
.
Матрица типа
обычно называют прямоугольной.
Если число строк
равно числу столбцов, то такую матрицу
называют квадратной.
Совокупность элементов квадратной
матрицы, расположенных на отрезке,
соединяющем левый верхний угол с правым
нижним, называют главной
диагональю,
а на отрезке, соединяющем правый верхний
угол с левым нижним, - побочной
диагональю
матрицы. Квадратные матрицы, у которых
отличны от нуля лишь элементы главной
диагонали, называются диагональными
матрицами.
Квадратная матрица называется треугольной,
если все элементы, стоящие выше (или
ниже) главной диагонали, равны нулю.
Единичной матрицей называется диагональная
матрица, у которой каждый элемент,
находящийся на главной диагонали, равен
единице и обозначается через
.
Транспонированной
называется матрица
,
получаемая из данной матрицы
вида
(1) путем замены строк столбцами, таким
образом,
Линейные операции над матрицами
Пусть
даны две матрицы
и
.
Суммой
двух матриц
и
одинакового
типа называется матрица
того же типа, элементы которой равны
суммам соответствующих элементов матриц
и
,
т.е.
.
Разностью двух матриц и одинакового типа называется матрица того же типа, элементы которой равны разностям соответствующих элементов матриц и , т.е.
.
Произведением
матрицы
на
число
называется
матрица, элементы которой получаются
из элементов матрицы
умножением
на число
:
.
Легко
проверить, что операции сложения матриц
и умножения матрицы на число, называемые
линейными операциями над матрицами,
обладают следующими свойствами:
Умножение матриц
Произведение матрицы на матрицу определяется в предположении, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .
Пусть
даны две матрицы
и
.
Произведением
двух матриц
и
,
заданных в определенном порядке (
-
первая и
-
вторая), называется матрица
,
элементы
которой определяются по следующему
правилу: элемент
ой
строки и
го
столбца матрицы
равен сумме произведений элементов
ой
строки матрицы
на соответствующие элементы
го
столбца матрицы
,
т.е.
.
Произведение матриц обладает следующими свойствами:
вообще говоря,
,
т.е. произведение матриц некоммутативно;произведение матрицы на единичную матрицу равно самой матрице , т.е.
;произведение матриц подчиняется ассоциативному (сочетательному) закону, т.е.
;
;Для произведения и суммы матриц выполняется дистрибутивный (распределительный) закон
и
.
Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу типа :
.
Если
в этой матрице выделить произвольно
столбцов и
строк, то элементы, стоящие на пересечении
выделенных столбцов и строк, образуют
квадратную матрицу
го порядка. Напомним, что определитель
этой матрицы
обладает минорами любого порядка от 1
до наименьшего из чисел
и
.
Среди всех отличных от нуля миноров
матрицы
найдется, по крайней мере, один минор,
порядок которого будет наибольшим.
Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы.
Если
ранг матрицы равен
, то это означает, что в матрице имеется,
по крайней мере, один, отличный от нуля
минор порядка
,
но всякий минор порядка, большего чем
,
равен нулю. Ранг матрицы обозначается
через
или
.
Ранг матрицы обладает следующими свойствами:
При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
Ранг матрицы не меняется при перестановке ее столбцов (или строк).
Ранг матрицы не меняется при умножении всех элементов ее столбца (или строки) на отличное от нуля число.
Ранг матрицы не изменится, если к одному из ее столбцов (или строк) прибавить другой столбец (соответственно строку), умножив его (ее) на некоторое число.
Ранг матрицы не изменится, если удалить из нее столбец, состоящий из одних нулей.
Ранг матрицы не изменится, если удалить из нее столбец, являющийся линейной комбинацией других столбцов.
В свойствах 5 и 6, разумеется, столбцы можно заменить строками.
Элементарными называются следующие преобразования матриц:
Перестановка двух любых столбцов (строк),
Умножение столбца (строки) на отличное от нуля число,
Прибавление к одному столбцу (строке) линейной комбинации других столбцов (строк).
Из свойств ранга матрицы следует, что при элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется.
Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью применения конечного множества элементарных преобразований. Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны.
Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например
.
При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.
Замечание. На практике для вычисления ранга матрицы достаточно привести матрицу не к каноническому, а ступенчатому виду, например
