Приклад моделювання та розв’язку т-задачі методом потенціалів

Приклад 2. Знайти оптимальний план перевезень для Т – задачі, заданої таблицею 25.

Таблиця 25

Пункт виробництва	Пункт споживання				аi
	B1	B2	B3	B4
A1	2	4	7	11	200
A2	3	4	3	4	210
A3	3	5	2	4	280
bj	220	90	230	150	690

Будуємо початковий опорний план по правилу північно-західного кута. Оскільки a₁<b₁, приймаємо x₁₁=a₁=200, заносимо це значення в клітинку (1,1) (таблиця 26). Всі інші клітинки першого рядка залишаємо вільними. Приймаємо x₂₁=20. Потреби пункту B₁ задоволені. Формування першого стовпця закінчено. Рухаючи далі вправо і вниз, аналогічно заповнимо інші клітини. У результаті одержимо початковий невироджений план перевезень (див. таблицю 26), в якому кількість заповнених клітин дорівнює m+n-1=6. Значення цільової функції для початкового плану Z=1980.

Таблиця 26

i	j				аi
	B1	B2	B3	B4
A1	2 200	4 –	7 –	11 –	200
A2	3 20	4 90	3 - 100	+ 4 –	210
A2	3 –	5 –	+ 2 130	- 4 150	280
bj	220	90	230	150	690

Проводимо перевірку початкового плану на оптимальність. Враховуючи наведені в таблиці тарифи, складемо систему рівнянь u_i+v_j=c_ij для зайнятих (базових) клітин:

u₁ + v₁ = 2; u₂ + v₃ = 3;

u₂ + v₁ = 3; u₃ + v₃ = 2;

u₂ + v₂ = 4; u₃ + v₄ = 4.

Приймаючи u₁ = 0, знаходимо значення інших потенціалів:

u₁ = 0, u₂ = 1, u₃ = 0;

v₁ = 2, v₂ = 3, v₃ = 2, v₄ = 4.

Для всіх вільних (з нульовими значеннями x_ij) клітин (див. табл. 26) обчислимо оцінки:

_ij = c_ij – (u_i + v_j).

Отримаємо:

₁₂ = c₁₂ – (u₁ + v₂) = 4 – (0 + 3) = 1 > 0;

₁₃ = c₁₃ – (u₁ + v₃) = 7 – (0 + 2) = 5 > 0;

₁₄ = c₁₄ – (u₁ + v₄) =11 – (0 + 4) = 7 > 0;

₂₄ = c₂₄ – (u₂ + v₄) = 4 – (1 + 4) =-1 < 0;

₃₁ = c₃₁ – (u₃ + v₁) = 3 – (0 + 2) = 1 > 0;

₃₂ = c₃₂ – (u₃ + v₂) = 5 – (0 + 3) = 2 > 0.

В нашому випадку тільки для клітинки (2,4) умова оптимальності не виконується. Значить в цілому початковий план неоптимальний. Переходимо до його поліпшення. Клітину (2,4) введемо в новий план. Цикл перерахунку будуємо з клітинок (2,4),(2,3),(3,3),(3,4). Розмітимо цикл, чергуючи знаки. Клітини (2,4),(3,3) позначимо знаком "+", клітини (2,3),(3,4) позначимо знаком "-" (вони утворили від’ємний напівцикл з найменшим значенням t=100 в клітині (2,3)).

Виконаємо перерахунок (додамо значення t=100 до значень x_ij, що міститься в клітинках (2,4) і (3,3) додатного напівциклу, і віднімемо від значень x_ij, що містяться в клітинках (2,3) і (3,4) від’ємного напівциклу. Значення x_ij інших зайнятих (базових) клітин залишаємо без змін. Поліпшений план наведений в таблиці 27. Перевіримо його на оптимальність. Складаємо рівняння для обчислення нових потенціалів:

u₁ + v₁ = 2; u₂ + v₃ = 4;

u₂ + v₁ = 3; u₃ + v₃ = 2;

u₂ + v₂ = 4; u₃ + v₄ = 4.

Таблиця 27

i	j				аi
	B1	B2	B3	B4
A1	2 200	4	7	11	200
A2	3 20	4 90	3	4 100	210
A2	3	5	2 230	4 50	280
bj	220	90	230	150	690

Після розв’язання системи одержимо:

u₁ = 0, u₂ = 1, u₃ = 1.

v₁ = 2, v₂ = 3, v₃ = 1, v₄ = 3.

Перевіримо умову оптимальності:

₁₂ = c₁₂ – (u₁ + v₂) = 4 – (0 + 3) = 1 > 0;

₁₃ = c₁₃ – (u₁ + v₃) = 7 – (0 + 1) = 6 > 0;

₁₄ = c₁₄ – (u₁ + v₄) =11 – (0 + 3) = 8 > 0;

₂₃ = c₂₃ – (u₂ + v₃) = 3 – (1 + 1) = 1 > 0;

₃₁ = c₃₁ – (u₃ + v₁) = 3 – (1 + 2) = 0;

₃₂ = c₃₂ – (u₃ + v₂) = 5 – (1 + 3) = 1 > 0.

Усі _ij0. Таким чином, план x₁₁=200; x₂₁=20; x₂₂=90; x₂₄=100; x₃₃=230; x₃₄=50 є оптимальним.

Обчислимо оптимальне (мінімальне) значення цільової функції:

Z = 2 ^. 200 + 2 ^. 30 + 4 ^. 90 + 4 ^. 100 + 2 ^. 230 + 4.50 = 1860.