Алгоритм методу потенціалів

Алгоритм методу потенціалів полягає в наступному:

Етап 1. Будується початковий не вироджений опорний план перевезень, наприклад за правилом північно-західного кута або мінімального елемента.

Етап 2. Кожному постачальнику A_i ставиться у відповідність деяке число u_i ( ), а кожному споживачу B_j ( ) – деяке число v_j, названі потенціалами, відповідно, постачальника A_i і споживача B_j. Ці числа підбирають так, щоб у будь-якій заповненій клітині їх сума дорівнювала тарифу цієї клітинки, тобто u_i + v_j = c_ij. Оскільки всіх потенціалів m+n, а заповнених клітин (базисних перевезень) m+n-1, то для визначення всіх чисел u_i,та v_j необхідно розв’язувати систему з m+n-1 рівнянь виду u_i+v_j=с_ij з m+n невідомими. Для однозначного розв’язання системи одному з невідомих надають довільного значення; доцільно те невідоме, яке найбільш часто зустрічається в системі покласти рівним нулю. Інші m+n-1 невідомих потенціалів визначаються однозначно з розв’язання системи рівнянь.

Етап 3. Отриманий початковий опорний план перевіряється на оптимальність. Для цього для кожної вільної клітини (i,j) обчислюється оцінка за формулою:

_ij = c_ij - (u_i + v_j).

План буде оптимальний, якщо для кожної вільної клітини (i,j) оцінка _ij є величина не меншою нуля, тобто всі _ij0.

Етап 4. Якщо критерій оптимальності не виконаний (є клітини з _ij <0), то переходять до нового опорного плану з меншим значенням цільової функції. В число зайнятих вводять вільну клітину, для якої оцінка найменша, і одержують новий план перевезень. Процес продовжується доти, поки не буде отримано оптимальний план, для якого всі оцінки вільних клітин _ij 0.

Нехай, наприклад, найменша від’ємна оцінка _ij буде для вільної клітини (l,k). Тоді ця клітинка внаслідок перерахунку буде введена в набір зайнятих (з додатними x_ij) в новому опорному плані. Для знаходження числового значення x_lk=t в таблиці з попереднім опорним планом будується так званий цикл перерахунку з початковою (вихідною) клітиною циклу (l,k).

Для побудови такого циклу треба притримуватися таких основних правил:

1 Всі клітини циклу, крім початкової, повинні бути зайнятими (базисними).

2 Починаючи з початкової, пари сусідніх клітин (знаходяться в одному рядку або в одному стовпці) з'єднуються відрізками прямих, які в результаті побудови повинні утворити замкнену ламану (цикл).

3 Кожен наступний відрізок з попереднім повинен утворювати прямий кут.

4 В будь-якому рядку чи стовпці, де є клітинки циклу, їх повинна бути парна кількість (дві, чотири …); загальна кількість вершин циклу теж повинна бути парною.

5 Початкова клітина циклу позначається знаком "+", а інші - знаками "+" і "-" так, щоб будь-які дві сусідні клітини, з’єднані лінією, були позначені протилежними знаками. Клітини циклу, позначені знаком "+", утворять додатний напівцикл, а знаком "-" - від’ємний.

Знаходимо серед усіх клітин від’ємного напівциклу клітину, яка містить найменше значення x_ij=t. Позначимо таку клітинку (p,q). Ця клітина в новому плані стане вільною. Перерахунок значень в клітинах циклу виконуємо так: значення x_ij, що містяться у всіх клітинах додатного напівциклу, збільшуємо, а значення x_ij у всіх клітинках від’ємного напівциклу зменшуємо на величину t. Величини x_ij>0 в інших зайнятих клітинах залишаються незмінними.

Отримаємо новий поліпшений план, з якого клітина (p,q) виведена і замість неї введена нова клітина (l,k) з x_lk=t.

Для перевірки нового плану на оптимальність знову виконують етапи 2, 3 алгоритму. Процес продовжується до одержання плану, в якому всі оцінки _ij0.