Алгоритм симплексного методу

Симплексний метод дозволяє, починаючи з довільного початкового опорного плану, поступово поліпшувати його та отримати за скінчену кількість ітерацій оптимальний план або переконатися в нерозв'язності задачі.

Визначення 1. Прийнятним розв’язанням (планом) ЛП-задачі називають вектор X=(x₁,x₂,…,x_n), який задовольняє усім її обмеженням (33), (34).

Визначення 2. План X=(x₁,x₂,…,x_n) задачі (32) - (34) називається опорним (прийнятним базисним розв’язанням), якщо вектори обмежень A_j=(a_1j,a_2j,…,a_mj)^T, які входять в розкладення вектора A₀=(b₁,b₂,…,b_m)^T:

(35)

з додатними коефіцієнтами x_j, є лінійно незалежними.

Визначення 3. Система m лінійно незалежних векторів обмежень {A_si}, , що включає всі ті A_si, для яких x_si>0, називається базисом опорного плану і позначається через Бх.

Перед розв’язанням ЛП-задачі симплексним методом її треба представити в канонічній формі. Розв’язок треба починати зі сформованого заздалегідь опорного плану, якому відповідає одиничний базис. Тому задача можна розв’язати симплексним методом, якщо в матриці основних обмежень (33) присутні принаймні m різних одиничних векторів, з яких можна скласти одиничну матрицю m-го порядку.

Таким чином, якщо

X₀=(x_s1,x_s2,…,x_s0,0,…,0) –

початковий опорний план задачі з одиничним базисом A_s1,…,A_sm, то модель задачі має вигляд:

(36)

З системи (36) випливає, що у початковому опорному плані X₀ базисні змінні x_si=b_i, . Алгоритм симплексного методу починається з перевірки на оптимальність такого опорного плану:

X₀=(b₁,b₂,…,b_m,0,…,0). (37)

Для дослідження X₀ на оптимальність необхідно розкласти усі вектори A_j по векторах базису A_si:

(38)

і підрахувати різниці (оцінки векторів):

_j=Z_j–c_j. (39)

У рівнянні (38) x_ij=a_ij, оскільки вектори A_si утворюють одиничний базис.

Представивши усю вихідну інформацію про задачу у вигляді таблиці (таблиця 16), одержимо початкову (нульову) симплексну таблицю.

Таблиця 16 - Нульова симплексна таблиця

i	Бх	Сб	А0	c1	…	csr	…	ck	…	cn	t
				A1	…	Asr	…	Ak	…	An
1	As1	cs1	xs1	xs11	…	0	…	x1k	…	x1n	t0
2	As2	cs2	xs2	xs21	…	0	…	x2k	…	x2n
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
r	Asr	csr	xsr	xr1	…	1	…	xrk	…	xrn
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
m	Asm	csm	xsm	xm1	…	0	…	xmk	…	xmn
m+1	-	-	Z0		…	sr=0	…	k		n

Симплекс-таблиця (перші m рядків) заповнюється в такій послідовності: заповнюють стовпець i, рядок С, стовпець Б_x, стовпець С_б, стовпець A₀, стовпці A_i,…,A_n.

Останній рядок: в клітині на перетині стовпця А₀ та (m+1)-го рядка записують значення лінійної форми для поточного опорного плану. Це значення обчислюється за формулою:

. (40)

У наступні клітини (m+1)-го рядку записуються значення оцінок векторів обмежень A_j (величини _j), що обчислюються за формулою:

(41)

Для базисних векторів оцінки _si=0.

Для перевірки опорного плану на оптимальність переглядаємо оцінки векторів в (m+1)-ому рядку. При цьому можуть зустрітися такі випадки:

1 Усі оцінки _j0. Тоді опорний план X₀ є оптимальним і Z min=Z₀.

2 Для деякого фіксованого j _j>0 і всі коефіцієнти x_ij0, . Тоді лінійна форма не обмежена множиною допустимих розв’язків задачі. В обох випадках процес обчислення на цьому закінчується.

3 Для деяких індексів j є _j>0 і для кожного такого j, принаймні, одне з чисел x_ij>0. Це свідчить про те, що опорний план не є оптимальним і його можна поліпшити за рахунок введення в базис вектора, що відповідає однієї з таких оцінок. У базис необхідно ввести той вектор, якому відповідає max_j. Якщо таких різниць декілька, то беруть вектор з меншим номером.

Нехай . Тоді в базис треба вводити вектор A_k замість вектора, якому відповідає мінімальне значення виразу

. (42)

Необхідно вивести з базису вектор A_sr; новий базис буде складатися з векторів: A_s1,A_s2,…,A_sr-1,A_sr+1,…,A_sm,A_k... У цьому випадку x_rk називають розв’язним елементом поточної симплексної таблиці. Стовпець k і рядок r називають також розв’язними.

Всі значення в клітинах при побудові нової симплексної таблиці зі стовпця A₀ по с_n-ий і з першого рядка по (m+1)-ий перераховуються при переході до нового опорного плану у відповідності до наведених нижче рекурентних формул:

(43)

На практиці нову симплексну таблицю отримують з попередньої, виконуючи певні дії з елементами усього рядка. Кожен елемент розв’язного рядка r ділять на розв’язний елемент x_rk. У новій симплексній таблиці на місці розв’язного елемента отримуємо одиницю: x =1. Дії з іншими рядками направлені на те, щоб при переході до нової таблиці на місці розв’язного стовпця попередньої таблиці отримати одиничний вектор з нульовою оцінкою. Інші рядки перетворюються так: з того рядка попередньої таблиці, який необхідно перетворити, віднімаємо рядок r нової таблиці, помножений на той елемент перетворюваного рядка, на місці якого треба одержати нуль.

В результаті такого перетворення нульова симплекс-таблиці переходить в наступну (першу) таблицю, яка містить новий опорний план. Правильність побудови можна перевірити підрахувавши оцінки _j за формулою (40). Знову переглядаємо (m+1)-ий рядок. Якщо всі _j0, то опорний план оптимальний. В іншому випадку переходимо до нового опорного плану, будуючи другу симплексну таблицю. Процес продовжується поки не прийдемо або до оптимального плану, або переконаємося в необмеженості лінійної форми.